תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $32$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{24}{1-\frac{1}{4}}=\frac{24}{\frac{3}{4}}=32$.
2. $18$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac{1}{3}}=\frac{12}{\frac{2}{3}}=18$.
3. $156$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 2+(8-1)\cdot 5\big)=\frac{8}{2}\big(4+35\big)=\frac{8}{2}\cdot 39=156$.
4. $69$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 4+(6-1)\cdot 3\big)=\frac{6}{2}\big(8+15\big)=\frac{6}{2}\cdot 23=69$.
5. $16$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16$.
6. $152$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=5+28=33$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(5+33)}{2}=152$.
7. $30$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=4+(3-1)\cdot 13=4+26=30$.
8. $\frac{160}{3}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{40}{1-\frac{1}{4}}=\frac{40}{\frac{3}{4}}=\frac{160}{3}$.
9. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(10-1)\cdot 4=2+36=38$.
10. $24$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{3}=3\cdot 8=24$.
11. $45$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{15}{1-\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{1}{3}}=45$.
12. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{5}=2\cdot 32=64$.
13. $7$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=7$. בדיקה: $S_{7}=140$.
14. $34$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=10+(5-1)\cdot 6=10+24=34$.
15. $18$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{6+30}{2}=18$.
16. $13$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{1\cdot 26}{2}=13$.
17. $54$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac{1}{3}}=\frac{36}{\frac{2}{3}}=54$.
18. $13$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{5+21}{2}=13$.
19. $153$ — $S_{9}=\frac{9}{2}\big(2\cdot 5+(9-1)\cdot 3\big)=\frac{9}{2}\big(10+24\big)=\frac{9}{2}\cdot 34=153$.
20. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=100$.
21. $\frac{25}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{10}{1-\frac{1}{5}}=\frac{10}{\frac{4}{5}}=\frac{25}{2}$.
22. הנדסית עם $q=4$ — היחס קבוע: $\frac{4}{1}=4$, סדרה הנדסית עם $q=4$.
23. $25$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 5^{2}=1\cdot 25=25$.
24. $10$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=5\cdot 20=100$, ולכן $x=10$.
25. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $8=1\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
26. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=14+(9-1)\cdot 3=14+24=38$.
27. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=6\cdot 2^{3}=6\cdot 8=48$.
28. $8$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=4\cdot 16=64$, ולכן $x=8$.
29. הנדסית עם $q=\frac{1}{2}$ — היחס קבוע: $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$, סדרה הנדסית עם $q=\frac{1}{2}$.
30. $155$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=2+27=29$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(2+29)}{2}=155$.
31. $372$ — תחילה $a_{12}=a_1+(n-1)d=9+44=53$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{12(9+53)}{2}=372$.
32. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27$.
33. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{4}=3\cdot 16=48$.
34. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=5\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
35. $432$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=12+30=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{16(12+42)}{2}=432$.