תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $45=5\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
2. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $33=12+(8-1)d$, כלומר $7d=21$, ולכן $d=3$.
3. $40$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 2^{3}=5\cdot 8=40$.
4. $127$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{7}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 127}{1}=127$.
5. $45$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 3^{2}=5\cdot 9=45$.
6. $275$ — תחילה $a_{11}=a_1+(n-1)d=10+30=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{11(10+40)}{2}=275$.
7. $32$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{4}=2\cdot 16=32$.
8. $50$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 5^{2}=2\cdot 25=50$.
9. $372$ — תחילה $a_{12}=a_1+(n-1)d=9+44=53$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{12(9+53)}{2}=372$.
10. $62$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=6+(5-1)\cdot 14=6+56=62$.
11. $319$ — $S_{11}=\frac{11}{2}\big(2\cdot 4+(11-1)\cdot 5\big)=\frac{11}{2}\big(8+50\big)=\frac{11}{2}\cdot 58=319$.
12. $8$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=4\cdot 16=64$, ולכן $x=8$.
13. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=3+(8-1)\cdot 5=3+35=38$.
14. הנדסית עם $q=-2$ — היחס קבוע: $\frac{-2}{1}=-2$, סדרה הנדסית עם $q=-2$.
15. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $15=3+(6-1)d$, כלומר $5d=12$, ולכן $d=4$.
16. $42$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{2\cdot 63}{3}=42$.
17. $7$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=7$. בדיקה: $S_{7}=140$.
18. $60$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{4(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{4\cdot 15}{1}=60$.
19. $6$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $35=5+(4-1)d$, כלומר $3d=30$, ולכן $d=6$.
20. $4$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 8=16$, ולכן $x=4$.
21. $65$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=11+(10-1)\cdot 6=11+54=65$.
22. $285$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=15+27=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(15+42)}{2}=285$.
23. $13$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{7+19}{2}=13$.
24. $6$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 18=36$, ולכן $x=6$.
25. חשבונית עם $d=-5$ — ההפרש קבוע: $15-20=-5$, סדרה חשבונית עם $d=-5$.
26. $93$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{3\cdot 31}{1}=93$.
27. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=110$.
28. $190$ — $S_{10}=\frac{10}{2}\big(2\cdot 1+(10-1)\cdot 4\big)=\frac{10}{2}\big(2+36\big)=\frac{10}{2}\cdot 38=190$.
29. $80$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{20}{1-\frac{3}{4}}=\frac{20}{\frac{1}{4}}=80$.
30. $49$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=25+(7-1)\cdot 4=25+24=49$.
31. $378$ — תחילה $a_{9}=a_1+(n-1)d=2+80=82$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{9(2+82)}{2}=378$.
32. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{6}=1\cdot 64=64$.
33. $432$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=12+30=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{16(12+42)}{2}=432$.
34. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $34=10+(8-1)d$, כלומר $7d=24$, ולכן $d=4$.
35. $31$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(5^{3}-1)}{5-1}=\frac{1\cdot 124}{4}=31$.