תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $15=3+(6-1)d$, כלומר $5d=12$, ולכן $d=4$.
2. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $36=4\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
3. $8$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=8$. בדיקה: $S_{8}=108$.
4. $32$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{24}{1-\frac{1}{4}}=\frac{24}{\frac{3}{4}}=32$.
5. $31$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(5^{3}-1)}{5-1}=\frac{1\cdot 124}{4}=31$.
6. $261$ — $S_{9}=\frac{9}{2}\big(2\cdot 1+(9-1)\cdot 7\big)=\frac{9}{2}\big(2+56\big)=\frac{9}{2}\cdot 58=261$.
7. $630$ — תחילה $a_{14}=a_1+(n-1)d=6+78=84$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{14(6+84)}{2}=630$.
8. $9$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=9$. בדיקה: $S_{9}=45$.
9. $3$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=1\cdot 9=9$, ולכן $x=3$.
10. $21$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{1\cdot 63}{3}=21$.
11. $420$ — $S_{12}=\frac{12}{2}\big(2\cdot 2+(12-1)\cdot 6\big)=\frac{12}{2}\big(4+66\big)=\frac{12}{2}\cdot 70=420$.
12. $105$ — $S_{5}=\frac{5}{2}\big(2\cdot 3+(5-1)\cdot 9\big)=\frac{5}{2}\big(6+36\big)=\frac{5}{2}\cdot 42=105$.
13. $285$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=15+27=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(15+42)}{2}=285$.
14. $7$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $52=3+(8-1)d$, כלומר $7d=49$, ולכן $d=7$.
15. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{6}=1\cdot 64=64$.
16. $22$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(6-1)\cdot 3=7+15=22$.
17. $252$ — תחילה $a_{9}=a_1+(n-1)d=4+48=52$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{9(4+52)}{2}=252$.
18. $27$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 3^{2}=3\cdot 9=27$.
19. $275$ — תחילה $a_{11}=a_1+(n-1)d=10+30=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{11(10+40)}{2}=275$.
20. $\frac{64}{3}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{16}{1-\frac{1}{4}}=\frac{16}{\frac{3}{4}}=\frac{64}{3}$.
21. $259$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=4+66=70$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(4+70)}{2}=259$.
22. $182$ — $S_{7}=\frac{7}{2}\big(2\cdot 2+(7-1)\cdot 8\big)=\frac{7}{2}\big(4+48\big)=\frac{7}{2}\cdot 52=182$.
23. $10$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$.
24. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $16=1\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
25. $\frac{160}{3}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{40}{1-\frac{1}{4}}=\frac{40}{\frac{3}{4}}=\frac{160}{3}$.
26. $6$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
27. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 3^{3}=2\cdot 27=54$.
28. $28$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=4+(7-1)\cdot 4=4+24=28$.
29. $10$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=5\cdot 20=100$, ולכן $x=10$.
30. $80$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{20}{1-\frac{3}{4}}=\frac{20}{\frac{1}{4}}=80$.
31. $16$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16$.
32. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $45=5\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
33. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $33=12+(8-1)d$, כלומר $7d=21$, ולכן $d=3$.
34. $152$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=5+28=33$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(5+33)}{2}=152$.
35. $260$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=1+63=64$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(1+64)}{2}=260$.