תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=30+(5-1)\cdot 6=30+24=54$.
2. $50$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 5^{2}=2\cdot 25=50$.
3. $155$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=2+27=29$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(2+29)}{2}=155$.
4. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 4^{3}=1\cdot 64=64$.
5. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $31=7+(9-1)d$, כלומר $8d=24$, ולכן $d=3$.
6. $43$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=22+(4-1)\cdot 7=22+21=43$.
7. $27$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=5+(12-1)\cdot 2=5+22=27$.
8. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=15+(5-1)\cdot 4=15+16=31$.
9. $9$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{1+17}{2}=9$.
10. $3$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=1\cdot 9=9$, ולכן $x=3$.
11. $62$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 31}{1}=62$.
12. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $21=1+(5-1)d$, כלומר $4d=20$, ולכן $d=3$.
13. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{1-\frac{2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=27$.
14. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $36=4\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
15. $65$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=11+(10-1)\cdot 6=11+54=65$.
16. $7$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{3+11}{2}=7$.
17. $8$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=8$. בדיקה: $S_{8}=108$.
18. $366$ — תחילה $a_{12}=a_1+(n-1)d=3+55=58$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{12(3+58)}{2}=366$.
19. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{4}=3\cdot 16=48$.
20. $24$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{3}=3\cdot 8=24$.
21. $127$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{7}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 127}{1}=127$.
22. $84$ — $S_{7}=\frac{7}{2}\big(2\cdot 6+(7-1)\cdot 2\big)=\frac{7}{2}\big(12+12\big)=\frac{7}{2}\cdot 24=84$.
23. $25$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 5^{2}=1\cdot 25=25$.
24. $10$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{4+16}{2}=10$.
25. $126$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 63}{1}=126$.
26. $31$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(5^{3}-1)}{5-1}=\frac{1\cdot 124}{4}=31$.
27. $105$ — $S_{5}=\frac{5}{2}\big(2\cdot 3+(5-1)\cdot 9\big)=\frac{5}{2}\big(6+36\big)=\frac{5}{2}\cdot 42=105$.
28. $16$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{8+24}{2}=16$.
29. $261$ — $S_{9}=\frac{9}{2}\big(2\cdot 1+(9-1)\cdot 7\big)=\frac{9}{2}\big(2+56\big)=\frac{9}{2}\cdot 58=261$.
30. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=4\cdot 2^{4}=4\cdot 16=64$.
31. $18$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{6+30}{2}=18$.
32. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(3-1)\cdot 12=7+24=31$.
33. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $50=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=25$, ולכן $q=5$.
34. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $18=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
35. $57$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=1+(9-1)\cdot 7=1+56=57$.