תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $102$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 7+(6-1)\cdot 4\big)=\frac{6}{2}\big(14+20\big)=\frac{6}{2}\cdot 34=102$.
2. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{1-\frac{2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=27$.
3. $43$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=22+(4-1)\cdot 7=22+21=43$.
4. $22$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(6-1)\cdot 3=7+15=22$.
5. $10$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$.
6. $4$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=1\cdot 16=16$, ולכן $x=4$.
7. $36$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=4\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36$.
8. $10$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=5\cdot 20=100$, ולכן $x=10$.
9. $252$ — תחילה $a_{9}=a_1+(n-1)d=4+48=52$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{9(4+52)}{2}=252$.
10. $160$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 6+(8-1)\cdot 4\big)=\frac{8}{2}\big(12+28\big)=\frac{8}{2}\cdot 40=160$.
11. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $12=3\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=4$, ולכן $q=2$.
12. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $18=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
13. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=15+(5-1)\cdot 4=15+16=31$.
14. הנדסית עם $q=3$ — היחס קבוע: $\frac{6}{2}=3$, סדרה הנדסית עם $q=3$.
15. $126$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 63}{1}=126$.
16. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{6}=1\cdot 64=64$.
17. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=5\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
18. $60$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{4(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{4\cdot 15}{1}=60$.
19. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=18+(13-1)\cdot 2=18+24=42$.
20. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 3^{3}=2\cdot 27=54$.
21. $432$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=12+30=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{16(12+42)}{2}=432$.
22. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $81=1\cdot q^{4}$, כלומר $q^{4}=81$, ולכן $q=3$.
23. $84$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{21}{1-\frac{3}{4}}=\frac{21}{\frac{1}{4}}=84$.
24. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=110$.
25. $7$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{3+11}{2}=7$.
26. $8$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{2+14}{2}=8$.
27. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=8+(3-1)\cdot 15=8+30=38$.
28. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $21=1+(5-1)d$, כלומר $4d=20$, ולכן $d=3$.
29. $39$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{3\cdot 26}{2}=39$.
30. $259$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=4+66=70$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(4+70)}{2}=259$.
31. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(3-1)\cdot 12=7+24=31$.
32. $13$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{1\cdot 26}{2}=13$.
33. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $34=10+(8-1)d$, כלומר $7d=24$, ולכן $d=4$.
34. הנדסית עם $q=\frac{1}{2}$ — היחס קבוע: $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$, סדרה הנדסית עם $q=\frac{1}{2}$.
35. $9$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 27=81$, ולכן $x=9$.