תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $84$ — $S_{7}=\frac{7}{2}\big(2\cdot 6+(7-1)\cdot 2\big)=\frac{7}{2}\big(12+12\big)=\frac{7}{2}\cdot 24=84$.
2. $40$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 2^{3}=5\cdot 8=40$.
3. $3$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=1\cdot 9=9$, ולכן $x=3$.
4. $65$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=11+(10-1)\cdot 6=11+54=65$.
5. $155$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=2+27=29$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(2+29)}{2}=155$.
6. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $45=5\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
7. $\frac{81}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27}{\frac{2}{3}}=\frac{81}{2}$.
8. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27$.
9. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $32=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
10. $32$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{4}=2\cdot 16=32$.
11. $126$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 63}{1}=126$.
12. $285$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=15+27=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(15+42)}{2}=285$.
13. $36$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=4\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36$.
14. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(6-1)\cdot 8=2+40=42$.
15. $319$ — $S_{11}=\frac{11}{2}\big(2\cdot 4+(11-1)\cdot 5\big)=\frac{11}{2}\big(8+50\big)=\frac{11}{2}\cdot 58=319$.
16. $12$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$.
17. $160$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 6+(8-1)\cdot 4\big)=\frac{8}{2}\big(12+28\big)=\frac{8}{2}\cdot 40=160$.
18. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $16=1\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
19. $4$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 8=16$, ולכן $x=4$.
20. $55$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=20+(8-1)\cdot 5=20+35=55$.
21. $344$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=1+84=85$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(1+85)}{2}=344$.
22. $49$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=13+(10-1)\cdot 4=13+36=49$.
23. $6$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
24. $9$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=9$. בדיקה: $S_{9}=45$.
25. $31$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 31}{1}=31$.
26. $9$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 27=81$, ולכן $x=9$.
27. $105$ — $S_{5}=\frac{5}{2}\big(2\cdot 3+(5-1)\cdot 9\big)=\frac{5}{2}\big(6+36\big)=\frac{5}{2}\cdot 42=105$.
28. $152$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=5+28=33$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(5+33)}{2}=152$.
29. $30$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 15}{1}=30$.
30. $6$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 12=36$, ולכן $x=6$.
31. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=10\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=4$, ולכן $q=2$.
32. $\frac{160}{3}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{40}{1-\frac{1}{4}}=\frac{40}{\frac{3}{4}}=\frac{160}{3}$.
33. $21$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=6+(4-1)\cdot 5=6+15=21$.
34. $8$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=8$. בדיקה: $S_{8}=100$.
35. $80$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(3^{4}-1)}{3-1}=\frac{2\cdot 80}{2}=80$.