תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $7$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=7$. בדיקה: $S_{7}=140$.
2. $32$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{4}=2\cdot 16=32$.
3. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=14+(9-1)\cdot 3=14+24=38$.
4. $31$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 31}{1}=31$.
5. $420$ — $S_{12}=\frac{12}{2}\big(2\cdot 2+(12-1)\cdot 6\big)=\frac{12}{2}\big(4+66\big)=\frac{12}{2}\cdot 70=420$.
6. $57$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=1+(9-1)\cdot 7=1+56=57$.
7. $41$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=16+(6-1)\cdot 5=16+25=41$.
8. $36$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=4\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36$.
9. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $16=1\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
10. $27$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 3^{2}=3\cdot 9=27$.
11. $40$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=12+(15-1)\cdot 2=12+28=40$.
12. $315$ — תחילה $a_{15}=a_1+(n-1)d=7+28=35$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{15(7+35)}{2}=315$.
13. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $18=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
14. $57$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=3+(7-1)\cdot 9=3+54=57$.
15. $630$ — תחילה $a_{14}=a_1+(n-1)d=6+78=84$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{14(6+84)}{2}=630$.
16. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $21=1+(5-1)d$, כלומר $4d=20$, ולכן $d=5$.
17. $12$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$.
18. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{4}=3\cdot 16=48$.
19. $9$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 27=81$, ולכן $x=9$.
20. $105$ — $S_{5}=\frac{5}{2}\big(2\cdot 3+(5-1)\cdot 9\big)=\frac{5}{2}\big(6+36\big)=\frac{5}{2}\cdot 42=105$.
21. $18$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{6+30}{2}=18$.
22. $663$ — תחילה $a_{13}=a_1+(n-1)d=3+96=99$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{13(3+99)}{2}=663$.
23. $42$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{2\cdot 63}{3}=42$.
24. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $32=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
25. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{1-\frac{2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=27$.
26. $32$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{24}{1-\frac{1}{4}}=\frac{24}{\frac{3}{4}}=32$.
27. $7$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $52=3+(8-1)d$, כלומר $7d=49$, ולכן $d=7$.
28. $261$ — $S_{9}=\frac{9}{2}\big(2\cdot 1+(9-1)\cdot 7\big)=\frac{9}{2}\big(2+56\big)=\frac{9}{2}\cdot 58=261$.
29. $55$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=20+(8-1)\cdot 5=20+35=55$.
30. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=30+(5-1)\cdot 6=30+24=54$.
31. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=3+(8-1)\cdot 5=3+35=38$.
32. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $38=8+(7-1)d$, כלומר $6d=30$, ולכן $d=5$.
33. $259$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=4+66=70$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(4+70)}{2}=259$.
34. הנדסית עם $q=2$ — היחס קבוע: $\frac{6}{3}=2$, סדרה הנדסית עם $q=2$.
35. $10$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$.