תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $26$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{2\cdot 26}{2}=26$.
2. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=8+(3-1)\cdot 15=8+30=38$.
3. $6$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
4. $54$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac{1}{3}}=\frac{36}{\frac{2}{3}}=54$.
5. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $17=2+(7-1)d$, כלומר $6d=15$, ולכן $d=5$.
6. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $24=4+(11-1)d$, כלומר $10d=20$, ולכן $d=2$.
7. $102$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 7+(6-1)\cdot 4\big)=\frac{6}{2}\big(14+20\big)=\frac{6}{2}\cdot 34=102$.
8. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $49=9+(6-1)d$, כלומר $5d=40$, ולכן $d=5$.
9. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=5+(4-1)\cdot 11=5+33=38$.
10. $9$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{1+17}{2}=9$.
11. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27$.
12. $7$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $52=3+(8-1)d$, כלומר $7d=49$, ולכן $d=7$.
13. $7$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{3+11}{2}=7$.
14. $80$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(3^{4}-1)}{3-1}=\frac{2\cdot 80}{2}=80$.
15. $45$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{15}{1-\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{1}{3}}=45$.
16. $127$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{7}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 127}{1}=127$.
17. $60$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{4(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{4\cdot 15}{1}=60$.
18. $344$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=1+84=85$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(1+85)}{2}=344$.
19. $8$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=8$. בדיקה: $S_{8}=108$.
20. $259$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=4+66=70$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(4+70)}{2}=259$.
21. הנדסית עם $q=-2$ — היחס קבוע: $\frac{-2}{1}=-2$, סדרה הנדסית עם $q=-2$.
22. $13$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{1\cdot 26}{2}=13$.
23. $630$ — תחילה $a_{14}=a_1+(n-1)d=6+78=84$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{14(6+84)}{2}=630$.
24. $372$ — תחילה $a_{12}=a_1+(n-1)d=9+44=53$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{12(9+53)}{2}=372$.
25. $65$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=11+(10-1)\cdot 6=11+54=65$.
26. $35$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(2^{3}-1)}{2-1}=\frac{5\cdot 7}{1}=35$.
27. $6$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 12=36$, ולכן $x=6$.
28. הנדסית עם $q=3$ — היחס קבוע: $\frac{6}{2}=3$, סדרה הנדסית עם $q=3$.
29. $25$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 5^{2}=1\cdot 25=25$.
30. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{1-\frac{2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=27$.
31. $315$ — תחילה $a_{15}=a_1+(n-1)d=7+28=35$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{15(7+35)}{2}=315$.
32. $55$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=20+(8-1)\cdot 5=20+35=55$.
33. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $15=3+(6-1)d$, כלומר $5d=12$, ולכן $d=4$.
34. $6$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 18=36$, ולכן $x=6$.
35. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=18+(13-1)\cdot 2=18+24=42$.