תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $24$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{3}=3\cdot 8=24$.
2. $182$ — $S_{7}=\frac{7}{2}\big(2\cdot 2+(7-1)\cdot 8\big)=\frac{7}{2}\big(4+48\big)=\frac{7}{2}\cdot 52=182$.
3. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=100$.
4. $8$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=4\cdot 16=64$, ולכן $x=8$.
5. $84$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{21}{1-\frac{3}{4}}=\frac{21}{\frac{1}{4}}=84$.
6. $54$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac{1}{3}}=\frac{36}{\frac{2}{3}}=54$.
7. הנדסית עם $q=2$ — היחס קבוע: $\frac{6}{3}=2$, סדרה הנדסית עם $q=2$.
8. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(6-1)\cdot 8=2+40=42$.
9. $26$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{2\cdot 26}{2}=26$.
10. $344$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=1+84=85$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(1+85)}{2}=344$.
11. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $32=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
12. $21$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{1\cdot 63}{3}=21$.
13. $75$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{5\cdot 15}{1}=75$.
14. $57$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=3+(7-1)\cdot 9=3+54=57$.
15. $90$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{30}{1-\frac{2}{3}}=\frac{30}{\frac{1}{3}}=90$.
16. $14$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{7}{1-\frac{1}{2}}=\frac{7}{\frac{1}{2}}=14$.
17. $63$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 63}{1}=63$.
18. $161$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=8+30=38$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(8+38)}{2}=161$.
19. $663$ — תחילה $a_{13}=a_1+(n-1)d=3+96=99$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{13(3+99)}{2}=663$.
20. $102$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 7+(6-1)\cdot 4\big)=\frac{6}{2}\big(14+20\big)=\frac{6}{2}\cdot 34=102$.
21. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $45=5\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
22. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $51=15+(11-1)d$, כלומר $10d=36$, ולכן $d=4$.
23. $10$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$.
24. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $36=4\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
25. $62$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 31}{1}=62$.
26. $40$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=12+(15-1)\cdot 2=12+28=40$.
27. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $24=4+(11-1)d$, כלומר $10d=20$, ולכן $d=2$.
28. $57$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=1+(9-1)\cdot 7=1+56=57$.
29. $18$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac{1}{3}}=\frac{12}{\frac{2}{3}}=18$.
30. $285$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=15+27=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(15+42)}{2}=285$.
31. $\frac{125}{4}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{25}{1-\frac{1}{5}}=\frac{25}{\frac{4}{5}}=\frac{125}{4}$.
32. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $21=1+(5-1)d$, כלומר $4d=20$, ולכן $d=3$.
33. $45$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{3\cdot 15}{1}=45$.
34. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=14+(9-1)\cdot 3=14+24=38$.
35. $9$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{1+17}{2}=9$.