תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $372$ — תחילה $a_{12}=a_1+(n-1)d=9+44=53$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{12(9+53)}{2}=372$.
2. $135$ — תחילה $a_{6}=a_1+(n-1)d=5+35=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{6(5+40)}{2}=135$.
3. $102$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 7+(6-1)\cdot 4\big)=\frac{6}{2}\big(14+20\big)=\frac{6}{2}\cdot 34=102$.
4. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $81=1\cdot q^{4}$, כלומר $q^{4}=81$, ולכן $q=3$.
5. $6$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $35=5+(4-1)d$, כלומר $3d=30$, ולכן $d=6$.
6. $32$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{4}=2\cdot 16=32$.
7. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $24=4+(11-1)d$, כלומר $10d=20$, ולכן $d=2$.
8. $665$ — תחילה $a_{14}=a_1+(n-1)d=2+91=93$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{14(2+93)}{2}=665$.
9. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $16=1\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
10. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=5+(4-1)\cdot 11=5+33=38$.
11. $63$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 63}{1}=63$.
12. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $54=2\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=27$, ולכן $q=3$.
13. $315$ — תחילה $a_{15}=a_1+(n-1)d=7+28=35$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{15(7+35)}{2}=315$.
14. $44$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=9+(6-1)\cdot 7=9+35=44$.
15. $8$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{2+14}{2}=8$.
16. $136$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 10+(8-1)\cdot 2\big)=\frac{8}{2}\big(20+14\big)=\frac{8}{2}\cdot 34=136$.
17. $62$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 31}{1}=62$.
18. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{5}=2\cdot 32=64$.
19. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(3-1)\cdot 12=7+24=31$.
20. $\frac{81}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27}{\frac{2}{3}}=\frac{81}{2}$.
21. $8$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=4\cdot 16=64$, ולכן $x=8$.
22. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=110$.
23. $400$ — תחילה $a_{20}=a_1+(n-1)d=1+38=39$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{20(1+39)}{2}=400$.
24. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=6\cdot 2^{3}=6\cdot 8=48$.
25. $9$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=9$. בדיקה: $S_{9}=45$.
26. $240$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=6+36=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(6+42)}{2}=240$.
27. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 3^{3}=2\cdot 27=54$.
28. $663$ — תחילה $a_{13}=a_1+(n-1)d=3+96=99$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{13(3+99)}{2}=663$.
29. $27$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=5+(12-1)\cdot 2=5+22=27$.
30. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $50=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=25$, ולכן $q=5$.
31. $4$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=1\cdot 16=16$, ולכן $x=4$.
32. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=10\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=4$, ולכן $q=2$.
33. $75$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{5\cdot 15}{1}=75$.
34. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $45=5\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
35. $6$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $55=1+(10-1)d$, כלומר $9d=54$, ולכן $d=6$.