תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. הנדסית עם $q=3$ — היחס קבוע: $\frac{6}{2}=3$, סדרה הנדסית עם $q=3$.
2. $52$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=19+(12-1)\cdot 3=19+33=52$.
3. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{4}=3\cdot 16=48$.
4. $60$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{4(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{4\cdot 15}{1}=60$.
5. $28$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{14}{1-\frac{1}{2}}=\frac{14}{\frac{1}{2}}=28$.
6. $26$ — נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. נציב $a_1=2$, $q=3$, $n=3$: $S_3=\frac{2(3^3-1)}{3-1}=\frac{2(27-1)}{2}=\frac{2\cdot 26}{2}=26$. המסיחים השגויים: $27$ — שגיאה נפוצה של חישוב $q^n$ בלבד ללא חיסור $1$; $54$ — כפל שגוי של $a_1\cdot q^n=2\cdot 27$; $80$ — שימוש שגוי ב-$n=4$ במקום $n=3$.
7. $75$ — $S_{5}=\frac{5}{2}\big(2\cdot 3+(5-1)\cdot 6\big)=\frac{5}{2}\big(6+24\big)=\frac{5}{2}\cdot 30=75$.
8. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=110$.
9. $372$ — תחילה $a_{12}=a_1+(n-1)d=9+44=53$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{12(9+53)}{2}=372$.
10. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $15=3+(6-1)d$, כלומר $5d=12$, ולכן $d=4$.
11. $259$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=4+66=70$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(4+70)}{2}=259$.
12. $6$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
13. $12$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$.
14. $45$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{3\cdot 15}{1}=45$.
15. $62$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=6+(5-1)\cdot 14=6+56=62$.
16. $432$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=12+30=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{16(12+42)}{2}=432$.
17. $152$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=5+28=33$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(5+33)}{2}=152$.
18. $6$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $35=5+(4-1)d$, כלומר $3d=30$, ולכן $d=6$.
19. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 4^{3}=1\cdot 64=64$.
20. $13$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{5+21}{2}=13$.
21. $18$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac{1}{3}}=\frac{12}{\frac{2}{3}}=18$.
22. $36$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=4\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36$.
23. $80$ — נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית סופית: $S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. נציב $a_1=2$, $q=3$, $n=4$: $S_4=\dfrac{2(3^4-1)}{3-1}=\dfrac{2\cdot(81-1)}{2}=\dfrac{2\cdot80}{2}=80$.
24. $7$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=7$. בדיקה: $S_{7}=140$.
25. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=3+(8-1)\cdot 5=3+35=38$.
26. $\frac{64}{3}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{16}{1-\frac{1}{4}}=\frac{16}{\frac{3}{4}}=\frac{64}{3}$.
27. חשבונית עם $d=-5$ — ההפרש קבוע: $15-20=-5$, סדרה חשבונית עם $d=-5$.
28. $105$ — $S_{5}=\frac{5}{2}\big(2\cdot 3+(5-1)\cdot 9\big)=\frac{5}{2}\big(6+36\big)=\frac{5}{2}\cdot 42=105$.
29. $21$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{1\cdot 63}{3}=21$.
30. $275$ — תחילה $a_{11}=a_1+(n-1)d=10+30=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{11(10+40)}{2}=275$.
31. $62$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 31}{1}=62$.
32. $84$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{21}{1-\frac{3}{4}}=\frac{21}{\frac{1}{4}}=84$.
33. $49$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=13+(10-1)\cdot 4=13+36=49$.
34. $32$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 4^{2}=2\cdot 16=32$.
35. $54$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac{1}{3}}=\frac{36}{\frac{2}{3}}=54$.