תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=30+(5-1)\cdot 6=30+24=54$.
2. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $30=6+(9-1)d$, כלומר $8d=24$, ולכן $d=4$.
3. $\frac{125}{4}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{25}{1-\frac{1}{5}}=\frac{25}{\frac{4}{5}}=\frac{125}{4}$.
4. $182$ — $S_{7}=\frac{7}{2}\big(2\cdot 2+(7-1)\cdot 8\big)=\frac{7}{2}\big(4+48\big)=\frac{7}{2}\cdot 52=182$.
5. $21$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{1\cdot 63}{3}=21$.
6. $30$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 15}{1}=30$.
7. $13$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{1\cdot 26}{2}=13$.
8. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=10\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=4$, ולכן $q=2$.
9. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{6}=1\cdot 64=64$.
10. $43$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=22+(4-1)\cdot 7=22+21=43$.
11. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{4}=3\cdot 16=48$.
12. $260$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=1+63=64$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(1+64)}{2}=260$.
13. $35$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(2^{3}-1)}{2-1}=\frac{5\cdot 7}{1}=35$.
14. $126$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 63}{1}=126$.
15. $135$ — תחילה $a_{6}=a_1+(n-1)d=5+35=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{6(5+40)}{2}=135$.
16. $44$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=9+(6-1)\cdot 7=9+35=44$.
17. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $21=1+(5-1)d$, כלומר $4d=20$, ולכן $d=3$.
18. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=6\cdot 2^{3}=6\cdot 8=48$.
19. $32$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{24}{1-\frac{1}{4}}=\frac{24}{\frac{3}{4}}=32$.
20. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $18=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
21. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $36=4\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
22. $4$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=1\cdot 16=16$, ולכן $x=4$.
23. $28$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=4+(7-1)\cdot 4=4+24=28$.
24. $39$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(3^{3}-1)}{3-1}=\frac{3\cdot 26}{2}=39$.
25. $4$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 8=16$, ולכן $x=4$.
26. $6$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 12=36$, ולכן $x=6$.
27. $27$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 3^{2}=3\cdot 9=27$.
28. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=15+(5-1)\cdot 4=15+16=31$.
29. $60$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{4(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{4\cdot 15}{1}=60$.
30. $315$ — תחילה $a_{15}=a_1+(n-1)d=7+28=35$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{15(7+35)}{2}=315$.
31. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(10-1)\cdot 4=2+36=38$.
32. $40$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=12+(15-1)\cdot 2=12+28=40$.
33. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=18+(13-1)\cdot 2=18+24=42$.
34. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $125=1\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=125$, ולכן $q=5$.
35. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=8+(3-1)\cdot 15=8+30=38$.