תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $102$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 7+(6-1)\cdot 4\big)=\frac{6}{2}\big(14+20\big)=\frac{6}{2}\cdot 34=102$.
2. $319$ — $S_{11}=\frac{11}{2}\big(2\cdot 4+(11-1)\cdot 5\big)=\frac{11}{2}\big(8+50\big)=\frac{11}{2}\cdot 58=319$.
3. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $50=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=25$, ולכן $q=5$.
4. $7$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{3+11}{2}=7$.
5. $260$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=1+63=64$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(1+64)}{2}=260$.
6. $62$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 31}{1}=62$.
7. $105$ — $S_{5}=\frac{5}{2}\big(2\cdot 3+(5-1)\cdot 9\big)=\frac{5}{2}\big(6+36\big)=\frac{5}{2}\cdot 42=105$.
8. $155$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=2+27=29$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(2+29)}{2}=155$.
9. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=30+(5-1)\cdot 6=30+24=54$.
10. $13$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{7+19}{2}=13$.
11. $30$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=4+(3-1)\cdot 13=4+26=30$.
12. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $17=2+(7-1)d$, כלומר $6d=15$, ולכן $d=5$.
13. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{5}=2\cdot 32=64$.
14. $182$ — $S_{7}=\frac{7}{2}\big(2\cdot 2+(7-1)\cdot 8\big)=\frac{7}{2}\big(4+48\big)=\frac{7}{2}\cdot 52=182$.
15. $153$ — $S_{9}=\frac{9}{2}\big(2\cdot 5+(9-1)\cdot 3\big)=\frac{9}{2}\big(10+24\big)=\frac{9}{2}\cdot 34=153$.
16. $275$ — תחילה $a_{11}=a_1+(n-1)d=10+30=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{11(10+40)}{2}=275$.
17. $40$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 2^{3}=5\cdot 8=40$.
18. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $38=2+(10-1)d$, כלומר $9d=36$, ולכן $d=4$.
19. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=3+(8-1)\cdot 5=3+35=38$.
20. $63$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 63}{1}=63$.
21. $400$ — תחילה $a_{20}=a_1+(n-1)d=1+38=39$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{20(1+39)}{2}=400$.
22. $6$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $35=5+(4-1)d$, כלומר $3d=30$, ולכן $d=6$.
23. $84$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{21}{1-\frac{3}{4}}=\frac{21}{\frac{1}{4}}=84$.
24. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=110$.
25. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $16=1\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
26. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(6-1)\cdot 8=2+40=42$.
27. $55$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=20+(8-1)\cdot 5=20+35=55$.
28. $344$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=1+84=85$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(1+85)}{2}=344$.
29. $124$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{4(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{4\cdot 31}{1}=124$.
30. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{4}=3\cdot 16=48$.
31. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $21=1+(5-1)d$, כלומר $4d=20$, ולכן $d=3$.
32. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $33=12+(8-1)d$, כלומר $7d=21$, ולכן $d=3$.
33. $6$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
34. $240$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=6+36=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(6+42)}{2}=240$.
35. $161$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=8+30=38$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(8+38)}{2}=161$.