תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $45$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{15}{1-\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{1}{3}}=45$.
2. $63$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 63}{1}=63$.
3. $261$ — $S_{9}=\frac{9}{2}\big(2\cdot 1+(9-1)\cdot 7\big)=\frac{9}{2}\big(2+56\big)=\frac{9}{2}\cdot 58=261$.
4. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=18+(13-1)\cdot 2=18+24=42$.
5. $12$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$.
6. $93$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{3\cdot 31}{1}=93$.
7. $9$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 27=81$, ולכן $x=9$.
8. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $48=8+(7-1)d$, כלומר $6d=40$, ולכן $d=5$.
9. $155$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=2+27=29$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(2+29)}{2}=155$.
10. $30$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=4+(3-1)\cdot 13=4+26=30$.
11. $8$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{2+14}{2}=8$.
12. $60$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{4(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{4\cdot 15}{1}=60$.
13. $75$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{5\cdot 15}{1}=75$.
14. $6$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 18=36$, ולכן $x=6$.
15. $153$ — $S_{9}=\frac{9}{2}\big(2\cdot 5+(9-1)\cdot 3\big)=\frac{9}{2}\big(10+24\big)=\frac{9}{2}\cdot 34=153$.
16. $25$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 5^{2}=1\cdot 25=25$.
17. $315$ — תחילה $a_{15}=a_1+(n-1)d=7+28=35$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{15(7+35)}{2}=315$.
18. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{1-\frac{2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=27$.
19. $161$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=8+30=38$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(8+38)}{2}=161$.
20. $10$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=5\cdot 20=100$, ולכן $x=10$.
21. $7$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{3+11}{2}=7$.
22. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(3-1)\cdot 12=7+24=31$.
23. $8$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=4\cdot 16=64$, ולכן $x=8$.
24. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=15+(5-1)\cdot 4=15+16=31$.
25. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $81=1\cdot q^{4}$, כלומר $q^{4}=81$, ולכן $q=3$.
26. $32$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{4}=2\cdot 16=32$.
27. $259$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=4+66=70$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(4+70)}{2}=259$.
28. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=10\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=4$, ולכן $q=2$.
29. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=6\cdot 2^{3}=6\cdot 8=48$.
30. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $38=2+(10-1)d$, כלומר $9d=36$, ולכן $d=4$.
31. $\frac{81}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27}{\frac{2}{3}}=\frac{81}{2}$.
32. $152$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=5+28=33$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(5+33)}{2}=152$.
33. חשבונית עם $d=3$ — ההפרש קבוע: $5-2=3$, סדרה חשבונית עם $d=3$.
34. $30$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 15}{1}=30$.
35. $252$ — תחילה $a_{9}=a_1+(n-1)d=4+48=52$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{9(4+52)}{2}=252$.