תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $93$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{3\cdot 31}{1}=93$.
2. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=4\cdot 2^{4}=4\cdot 16=64$.
3. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $34=10+(8-1)d$, כלומר $7d=24$, ולכן $d=4$.
4. $16$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16$.
5. $\frac{25}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{10}{1-\frac{1}{5}}=\frac{10}{\frac{4}{5}}=\frac{25}{2}$.
6. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $54=2\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=27$, ולכן $q=3$.
7. הנדסית עם $q=\frac{1}{2}$ — היחס קבוע: $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$, סדרה הנדסית עם $q=\frac{1}{2}$.
8. $41$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=16+(6-1)\cdot 5=16+25=41$.
9. $126$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 63}{1}=126$.
10. $161$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=8+30=38$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(8+38)}{2}=161$.
11. הנדסית עם $q=-2$ — היחס קבוע: $\frac{-2}{1}=-2$, סדרה הנדסית עם $q=-2$.
12. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 4^{3}=1\cdot 64=64$.
13. $21$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{1\cdot 63}{3}=21$.
14. $420$ — $S_{12}=\frac{12}{2}\big(2\cdot 2+(12-1)\cdot 6\big)=\frac{12}{2}\big(4+66\big)=\frac{12}{2}\cdot 70=420$.
15. $7$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $52=3+(8-1)d$, כלומר $7d=49$, ולכן $d=7$.
16. $14$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{7}{1-\frac{1}{2}}=\frac{7}{\frac{1}{2}}=14$.
17. $57$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=1+(9-1)\cdot 7=1+56=57$.
18. $160$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 6+(8-1)\cdot 4\big)=\frac{8}{2}\big(12+28\big)=\frac{8}{2}\cdot 40=160$.
19. $135$ — תחילה $a_{6}=a_1+(n-1)d=5+35=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{6(5+40)}{2}=135$.
20. $13$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{5+21}{2}=13$.
21. $75$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{5\cdot 15}{1}=75$.
22. $55$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=20+(8-1)\cdot 5=20+35=55$.
23. $31$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(5^{3}-1)}{5-1}=\frac{1\cdot 124}{4}=31$.
24. $45$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{15}{1-\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{1}{3}}=45$.
25. $24$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{3}=3\cdot 8=24$.
26. $432$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=12+30=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{16(12+42)}{2}=432$.
27. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=30+(5-1)\cdot 6=30+24=54$.
28. $49$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=13+(10-1)\cdot 4=13+36=49$.
29. $84$ — $S_{7}=\frac{7}{2}\big(2\cdot 6+(7-1)\cdot 2\big)=\frac{7}{2}\big(12+12\big)=\frac{7}{2}\cdot 24=84$.
30. $136$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 10+(8-1)\cdot 2\big)=\frac{8}{2}\big(20+14\big)=\frac{8}{2}\cdot 34=136$.
31. חשבונית עם $d=-3$ — ההפרש קבוע: $7-10=-3$, סדרה חשבונית עם $d=-3$.
32. $10$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{4+16}{2}=10$.
33. $32$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 4^{2}=2\cdot 16=32$.
34. $190$ — $S_{10}=\frac{10}{2}\big(2\cdot 1+(10-1)\cdot 4\big)=\frac{10}{2}\big(2+36\big)=\frac{10}{2}\cdot 38=190$.
35. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $48=3\cdot q^{4}$, כלומר $q^{4}=16$, ולכן $q=2$.