תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $12$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$.
2. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $48=6\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
3. $152$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=5+28=33$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(5+33)}{2}=152$.
4. $63$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 63}{1}=63$.
5. $630$ — תחילה $a_{14}=a_1+(n-1)d=6+78=84$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{14(6+84)}{2}=630$.
6. $13$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{5+21}{2}=13$.
7. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{1-\frac{2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=27$.
8. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27$.
9. $27$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 3^{3}=1\cdot 27=27$.
10. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $50=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=25$, ולכן $q=5$.
11. $9$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{1+17}{2}=9$.
12. $25$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 5^{2}=1\cdot 25=25$.
13. $102$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 7+(6-1)\cdot 4\big)=\frac{6}{2}\big(14+20\big)=\frac{6}{2}\cdot 34=102$.
14. $22$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(6-1)\cdot 3=7+15=22$.
15. $40$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(3^{4}-1)}{3-1}=\frac{1\cdot 80}{2}=40$.
16. חשבונית עם $d=-3$ — ההפרש קבוע: $7-10=-3$, סדרה חשבונית עם $d=-3$.
17. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $38=2+(10-1)d$, כלומר $9d=36$, ולכן $d=4$.
18. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=100$.
19. $50$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 5^{2}=2\cdot 25=50$.
20. $7$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=7$. בדיקה: $S_{7}=140$.
21. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(10-1)\cdot 4=2+36=38$.
22. $155$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=2+27=29$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(2+29)}{2}=155$.
23. $84$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{21}{1-\frac{3}{4}}=\frac{21}{\frac{1}{4}}=84$.
24. $45$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{15}{1-\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{1}{3}}=45$.
25. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=5+(4-1)\cdot 11=5+33=38$.
26. $4$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 8=16$, ולכן $x=4$.
27. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $32=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=16$, ולכן $q=4$.
28. $378$ — תחילה $a_{9}=a_1+(n-1)d=2+80=82$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{9(2+82)}{2}=378$.
29. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=6\cdot 2^{3}=6\cdot 8=48$.
30. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $54=2\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=27$, ולכן $q=3$.
31. $21$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=6+(4-1)\cdot 5=6+15=21$.
32. $62$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=6+(5-1)\cdot 14=6+56=62$.
33. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $18=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
34. $84$ — $S_{7}=\frac{7}{2}\big(2\cdot 6+(7-1)\cdot 2\big)=\frac{7}{2}\big(12+12\big)=\frac{7}{2}\cdot 24=84$.
35. $16$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{8+24}{2}=16$.