תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $32$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{4}=2\cdot 16=32$.
2. $18$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{6+30}{2}=18$.
3. $25$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 5^{2}=1\cdot 25=25$.
4. $420$ — $S_{12}=\frac{12}{2}\big(2\cdot 2+(12-1)\cdot 6\big)=\frac{12}{2}\big(4+66\big)=\frac{12}{2}\cdot 70=420$.
5. $\frac{160}{3}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{40}{1-\frac{1}{4}}=\frac{40}{\frac{3}{4}}=\frac{160}{3}$.
6. $27$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 3^{3}=1\cdot 27=27$.
7. $9$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 27=81$, ולכן $x=9$.
8. $44$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=9+(6-1)\cdot 7=9+35=44$.
9. $10$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{4+16}{2}=10$.
10. $45$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 3^{2}=5\cdot 9=45$.
11. $432$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=12+30=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{16(12+42)}{2}=432$.
12. $7$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=7$. בדיקה: $S_{7}=140$.
13. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $33=12+(8-1)d$, כלומר $7d=21$, ולכן $d=3$.
14. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(3-1)\cdot 12=7+24=31$.
15. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(6-1)\cdot 8=2+40=42$.
16. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $12=3\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=4$, ולכן $q=2$.
17. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 3^{3}=2\cdot 27=54$.
18. $69$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 4+(6-1)\cdot 3\big)=\frac{6}{2}\big(8+15\big)=\frac{6}{2}\cdot 23=69$.
19. $55$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=20+(8-1)\cdot 5=20+35=55$.
20. $\frac{81}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27}{\frac{2}{3}}=\frac{81}{2}$.
21. $252$ — תחילה $a_{9}=a_1+(n-1)d=4+48=52$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{9(4+52)}{2}=252$.
22. $32$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 4^{2}=2\cdot 16=32$.
23. $190$ — $S_{10}=\frac{10}{2}\big(2\cdot 1+(10-1)\cdot 4\big)=\frac{10}{2}\big(2+36\big)=\frac{10}{2}\cdot 38=190$.
24. $24$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{3}=3\cdot 8=24$.
25. $80$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{20}{1-\frac{3}{4}}=\frac{20}{\frac{1}{4}}=80$.
26. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $49=9+(6-1)d$, כלומר $5d=40$, ולכן $d=5$.
27. $30$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=4+(3-1)\cdot 13=4+26=30$.
28. $8$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=8$. בדיקה: $S_{8}=108$.
29. $80$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(3^{4}-1)}{3-1}=\frac{2\cdot 80}{2}=80$.
30. $22$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(6-1)\cdot 3=7+15=22$.
31. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=8+(11-1)\cdot 3=8+30=38$.
32. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=5\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
33. $7$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{3+11}{2}=7$.
34. $4$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 8=16$, ולכן $x=4$.
35. $45$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{15}{1-\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{1}{3}}=45$.