תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $42$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=18+(13-1)\cdot 2=18+24=42$.
2. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $48=8+(7-1)d$, כלומר $6d=40$, ולכן $d=5$.
3. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $50=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=25$, ולכן $q=5$.
4. $14$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{7}{1-\frac{1}{2}}=\frac{7}{\frac{1}{2}}=14$.
5. $34$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=10+(5-1)\cdot 6=10+24=34$.
6. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=5+(4-1)\cdot 11=5+33=38$.
7. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $15=3+(6-1)d$, כלומר $5d=12$, ולכן $d=4$.
8. $344$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=1+84=85$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(1+85)}{2}=344$.
9. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $24=4+(11-1)d$, כלומר $10d=20$, ולכן $d=2$.
10. $665$ — תחילה $a_{14}=a_1+(n-1)d=2+91=93$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{14(2+93)}{2}=665$.
11. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=5\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
12. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 3^{3}=2\cdot 27=54$.
13. $22$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(6-1)\cdot 3=7+15=22$.
14. $41$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=16+(6-1)\cdot 5=16+25=41$.
15. $240$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=6+36=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(6+42)}{2}=240$.
16. $\frac{64}{3}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{16}{1-\frac{1}{4}}=\frac{16}{\frac{3}{4}}=\frac{64}{3}$.
17. $13$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{7+19}{2}=13$.
18. הנדסית עם $q=-2$ — היחס קבוע: $\frac{-2}{1}=-2$, סדרה הנדסית עם $q=-2$.
19. $6$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 18=36$, ולכן $x=6$.
20. $50$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 5^{2}=2\cdot 25=50$.
21. $62$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=6+(5-1)\cdot 14=6+56=62$.
22. $69$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 4+(6-1)\cdot 3\big)=\frac{6}{2}\big(8+15\big)=\frac{6}{2}\cdot 23=69$.
23. $18$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac{1}{3}}=\frac{12}{\frac{2}{3}}=18$.
24. $43$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=22+(4-1)\cdot 7=22+21=43$.
25. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $51=15+(11-1)d$, כלומר $10d=36$, ולכן $d=4$.
26. $62$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 31}{1}=62$.
27. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $45=5\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
28. $9$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=9$. בדיקה: $S_{9}=45$.
29. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=6\cdot 2^{3}=6\cdot 8=48$.
30. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=100$.
31. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $81=1\cdot q^{4}$, כלומר $q^{4}=81$, ולכן $q=3$.
32. $80$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{20}{1-\frac{3}{4}}=\frac{20}{\frac{1}{4}}=80$.
33. $152$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=5+28=33$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(5+33)}{2}=152$.
34. $10$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{4+16}{2}=10$.
35. $12$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$.