תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 10 — $F(x) = x^{3} + x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
2. 16 — $F(x) = x^{4}. F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16$.
3. 5x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = 5x + c$. מציבים את הנקודה $(1,8): 5 + c = 8$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 5x + 3$.
4. $\frac{1}{2}x^{6} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{5} dx = 3 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{1}{2}x^{6} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
5. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
6. $3x^{2} + x + 3$ — מאנטגרים: $f(x) = 3x^{2} + x + c$. מציבים את הנקודה $(0,3): 0 + c = 3$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 3x^{2} + x + 3$.
7. $\frac{7}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{2}dx = 7 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{7}{3}x^{3} + c$.
8. $\frac{7}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 7xdx = 7 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{7}{2}x^{2} + c$.
9. $\frac{128}{3}$ — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(4) - F(0) = \frac{128}{3} - 0 = \frac{128}{3}$.
10. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
11. $\frac{5}{2}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 10x^{3}dx = 10 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{2}x^{4} + c$.
12. $\frac{5}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{3}dx = 5 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{4}x^{4} + c$.
13. 72 — $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}. F(6) - F(0) = 72 - 0 = 72$.
14. $8x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 24x^{2}dx = 24 \cdot x^{3}/3 + c = 8x^{3} + c$.
15. $3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (9x^{2} + 8x - 3)dx = 3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
16. 10 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} - 3x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(5) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
17. 30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
18. 54 — $F(x) = 2x^{3}. F(3) - F(0) = 54 - 0 = 54$.
19. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
20. $x^{5} + x^{2} + 7x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (5x^{4} + 2x + 7)dx = x^{5} + x^{2} + 7x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
21. 8 — $F(x) = x^{2} - 4x. F(5) - F(1) = 5 - -3 = 8$.
22. $5x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 15x^{2}dx = 15 \cdot x^{3}/3 + c = 5x^{3} + c$.
23. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
24. $\frac{1}{5}x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{4} dx = 1 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{1}{5}x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
25. $x^{3} + 2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2} + 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3} + 2x^{2}$ נותנת $3x^{2} + 4x$.
26. $\frac{1}{3}x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{2} dx = 1 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{1}{3}x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
27. 64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
28. $4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
29. $\frac{9}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 9xdx = 9 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{9}{2}x^{2} + c$.
30. 21 — $F(x) = x^{2} + 4x. F(3) - F(0) = 21 - 0 = 21$.
31. $\frac{3}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{4}dx = 3 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{3}{5}x^{5} + c$.
32. $x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 4x^{3} dx = 4 \cdot x^{4}/4 + c = x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
33. $\frac{27}{2}$ — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (5x) - (2x) = 3x. \int$ מ-0 עד 3 של $(3x)dx = \frac{27}{2}$.
34. 32 — $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(8) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
35. 24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.