תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 4 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 4x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 4 - 0 = 4$.
2. 10 — $F(x) = x^{3} + x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
3. $x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} - 9x^{2} + 2)dx = x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
4. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
5. 75 — $F(x) = 3x^{2}. F(5) - F(0) = 75 - 0 = 75$.
6. $4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
7. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (3x^{2}) - (0) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
8. $\frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (x^{2} + x + 1)dx = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
9. $5x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 10xdx = 10 \cdot x^{2}/2 + c = 5x^{2} + c$.
10. 14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
11. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2x - 6)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
12. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
13. 16 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 3) - (3) = 2x. \int$ מ-0 עד 4 של $(2x)dx = 16$.
14. $2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $2x^{2}$ נותנת 4x.
15. $x^{4} + x^{3} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} + 3x^{2})dx = x^{4} + x^{3} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
16. 26 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(1) = 27 - 1 = 26$.
17. $x^{2} + x + 3$ — $f(x) = x^{2} + x + c$. מציבים $(2,9): 6 + c = 9, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + x + 3$.
18. $2x^{3} + 2$ — $f(x) = 2x^{3} + c$. מציבים $(1,4): 2 + c = 4, c = 2$. לכן $f(x) = 2x^{3} + 2$.
19. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
20. $-\frac{1}{x} + c$ — $\frac{1}{x}^{2} = x^{-2}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{-2}dx = x^{-1}/(-1) + c = -\frac{1}{x} + c$.
21. $8x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 24x^{2}dx = 24 \cdot x^{3}/3 + c = 8x^{3} + c$.
22. 1 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$.
23. x + c — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x + c$. בדיקה: גזירת x נותנת 1.
24. $\frac{1}{7}x^{7} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{6} dx = 1 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{1}{7}x^{7} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
25. $(\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c$ — $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{\frac{1}{2}}dx = x^{\frac{3}{2}}/(\frac{3}{2}) + c = (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c. ($אפשר לכתוב גם $(\frac{2}{3})x\sqrt{x} + c)$.
26. $-\frac{1}{2x^{2}} + c$ — $\frac{1}{x}^{3} = x^{-3}. \int x^{-3}dx = x^{-2}/(-2) + c = -\frac{1}{2x^{2}} + c$.
27. 5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13): 10 + c = 13, c = 3$. לכן $f(x) = 5x + 3$.
28. 54 — $F(x) = 2x^{3}. F(3) - F(0) = 54 - 0 = 54$.
29. $\frac{5}{2}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 10x^{3}dx = 10 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{2}x^{4} + c$.
30. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
31. $2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.
32. $x^{3} + 4$ — $f(x) = x^{3} + c$. מציבים $(1,5): 1 + c = 5, c = 4$. לכן $f(x) = x^{3} + 4$.
33. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
34. $\frac{5}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{3}dx = 5 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{4}x^{4} + c$.
35. 20 — $F(x) = 3x^{2} - 2x. F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20$.