תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
2. $x^{2} + 3$ — $f(x) = x^{2} + c$. מציבים $(2,7): 4 + c = 7, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + 3$.
3. 24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
4. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
5. 14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
6. 2 — השטח $= \int$ מ-0 עד 1 של $(6x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{3}$. השטח $= F(1) - F(0) = 2. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
7. 12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (8) - (2x) = -2x + 8. \int$ מ-0 עד 2 של $(-2x + 8)dx = 12$.
8. $\frac{1}{2}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x^{3} dx = 2 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{2}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
9. 24 — $F(x) = x^{2} + 2x. F(4) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
10. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
11. $\frac{3}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 3xdx = 3 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{3}{2}x^{2} + c$.
12. $2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (8x^{3} + 6x^{2} + 2)dx = 2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
13. $10x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 30x^{2}dx = 30 \cdot x^{3}/3 + c = 10x^{3} + c$.
14. $x^{2} - 5x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (2x - 5)dx = x^{2} - 5x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
15. $3x^{2} + 2x + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 6x + 2$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 3x^{2} + 2x + c$. בדיקה: גזירת $3x^{2} + 2x$ נותנת 6x + 2.
16. $3x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{3}dx = 12 \cdot x^{4}/4 + c = 3x^{4} + c$.
17. $\frac{7}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{3}dx = 7 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{7}{4}x^{4} + c$.
18. 30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
19. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(-3x^{2})dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
20. $4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
21. 26 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(1) = 27 - 1 = 26$.
22. 90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
23. $\frac{2}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{2}dx = 2 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{2}{3}x^{3} + c$.
24. $\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.
25. $5x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 10x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 5x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $5x^{2}$ נותנת 10x.
26. 50 — $F(x) = 2x^{2}. F(5) - F(0) = 50 - 0 = 50$.
27. 8 — $F(x) = x^{2} - 4x. F(5) - F(1) = 5 - -3 = 8$.
28. $2x^{3} + 2$ — $f(x) = 2x^{3} + c$. מציבים $(1,4): 2 + c = 4, c = 2$. לכן $f(x) = 2x^{3} + 2$.
29. 64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
30. $\frac{11}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 11x^{2}dx = 11 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{11}{3}x^{3} + c$.
31. $x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
32. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 4 של $(x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. השטח $= F(4) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
33. 32 — $F(x) = 4x^{3}. F(2) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
34. 5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13): 10 + c = 13, c = 3$. לכן $f(x) = 5x + 3$.
35. $-\frac{2}{x} + c$ — $\frac{2}{x}^{2} = 2x^{-2}. \int 2x^{-2}dx = 2 \cdot x^{-1}/(-1) + c = -\frac{2}{x} + c$.