תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
2. 36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
3. x + c — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x + c$. בדיקה: גזירת x נותנת 1.
4. 50 — $F(x) = 2x^{2}. F(5) - F(0) = 50 - 0 = 50$.
5. $2x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{3}dx = 8 \cdot x^{4}/4 + c = 2x^{4} + c$.
6. $x^{3} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3}$ נותנת $3x^{2}$.
7. $\frac{7}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{2}dx = 7 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{7}{3}x^{3} + c$.
8. $2x^{3} - 2x^{2} + x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (6x^{2} - 4x + 1)dx = 2x^{3} - 2x^{2} + x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
9. $x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{2} dx = 3 \cdot x^{3}/3 + c = x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
10. $\frac{7}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{3}dx = 7 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{7}{4}x^{4} + c$.
11. $\frac{3}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{4}dx = 3 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{3}{5}x^{5} + c$.
12. $\frac{3}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 3xdx = 3 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{3}{2}x^{2} + c$.
13. $2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (8x^{3} + 6x^{2} + 2)dx = 2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
14. 8 — השטח $= \int$ מ-1 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(1) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
15. $\frac{5}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{2}dx = 5 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{5}{3}x^{3} + c$.
16. $-\frac{1}{x} + c$ — $\frac{1}{x}^{2} = x^{-2}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{-2}dx = x^{-1}/(-1) + c = -\frac{1}{x} + c$.
17. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
18. $10x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 20xdx = 20 \cdot x^{2}/2 + c = 10x^{2} + c$.
19. 56 — $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
20. 16 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 3) - (3) = 2x. \int$ מ-0 עד 4 של $(2x)dx = 16$.
21. $x^{2} + x + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 2x + 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{2} + x + c$. בדיקה: גזירת $x^{2} + x$ נותנת 2x + 1.
22. 2 — השטח $= \int$ מ-0 עד 1 של $(6x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{3}$. השטח $= F(1) - F(0) = 2. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
23. $\frac{1}{5}x^{10} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{9}dx = 2 \cdot x^{10}/10 + c = \frac{1}{5}x^{10} + c$.
24. 12 — $F(x) = x^{2} - x. F(4) - F(1) = 12 - 0 = 12$.
25. $6x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 18x^{2}dx = 18 \cdot x^{3}/3 + c = 6x^{3} + c$.
26. $\frac{5}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{3}dx = 5 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{4}x^{4} + c$.
27. $7x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 14xdx = 14 \cdot x^{2}/2 + c = 7x^{2} + c$.
28. 9 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(0) = 9. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
29. 24 — $F(x) = x^{2} + 2x. F(4) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
30. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (4x^{2}) - (x^{2}) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
31. 64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
32. $x^{5} + x^{2} + 7x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (5x^{4} + 2x + 7)dx = x^{5} + x^{2} + 7x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
33. 27 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(0) = 27 - 0 = 27$.
34. $\frac{63}{2}$ — $F(x) = \frac{3}{2}x^{2}. F(5) - F(2) = \frac{75}{2} - 6 = \frac{63}{2}$.
35. $\frac{1}{3}x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{2} dx = 1 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{1}{3}x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.