תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 40 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 40 - 0 = 40$.
2. $\frac{9}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 9xdx = 9 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{9}{2}x^{2} + c$.
3. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
4. 16 — $F(x) = x^{4}. F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16$.
5. $\frac{8}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{4}dx = 8 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{8}{5}x^{5} + c$.
6. 12 — $F(x) = x^{2} - x. F(4) - F(1) = 12 - 0 = 12$.
7. $\frac{3}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{6}dx = 3 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{3}{7}x^{7} + c$.
8. 40 — $F(x) = 5x^{2}. F(3) - F(1) = 45 - 5 = 40$.
9. $x^{3} + 2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2} + 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3} + 2x^{2}$ נותנת $3x^{2} + 4x$.
10. $\frac{27}{2}$ — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (5x) - (2x) = 3x. \int$ מ-0 עד 3 של $(3x)dx = \frac{27}{2}$.
11. 21 — $F(x) = x^{2} + 4x. F(3) - F(0) = 21 - 0 = 21$.
12. $5x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 10xdx = 10 \cdot x^{2}/2 + c = 5x^{2} + c$.
13. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3} + x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
14. 8 — השטח $= \int$ מ-1 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(1) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
15. 27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
16. 2 — השטח $= \int$ מ-0 עד 1 של $(6x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{3}$. השטח $= F(1) - F(0) = 2. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
17. $2x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{3}dx = 8 \cdot x^{4}/4 + c = 2x^{4} + c$.
18. $6x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 18x^{2}dx = 18 \cdot x^{3}/3 + c = 6x^{3} + c$.
19. $\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.
20. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (3x^{2}) - (0) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
21. 26 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(1) = 27 - 1 = 26$.
22. $\frac{6}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{4}dx = 6 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{6}{5}x^{5} + c$.
23. $x^{3} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3}$ נותנת $3x^{2}$.
24. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
25. 3 — $F(x) = 3x^{3}. F(1) - F(0) = 3 - 0 = 3$.
26. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{2}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
27. $x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{2} dx = 3 \cdot x^{3}/3 + c = x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
28. $x^{3} + 2x + 3$ — $f(x) = x^{3} + 2x + c$. מציבים $(1,6): 3 + c = 6, c = 3$. לכן $f(x) = x^{3} + 2x + 3$.
29. 30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
30. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
31. $\frac{9}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{3}dx = 9 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{9}{4}x^{4} + c$.
32. 36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
33. 10 — $F(x) = x^{3} + x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
34. $5x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 10x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 5x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $5x^{2}$ נותנת 10x.
35. $2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.