תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{5}dx = 6 \cdot x^{6}/6 + c = x^{6} + c$.
2. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 4 של $(x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. השטח $= F(4) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
3. x + c — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x + c$. בדיקה: גזירת x נותנת 1.
4. $\frac{1}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{5}dx = 2 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{1}{3}x^{6} + c$.
5. 10 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} - 3x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(5) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
6. 27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
7. $2x^{\frac{3}{2}} + c$ — $3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}. \int 3x^{\frac{1}{2}}dx = 3 \cdot (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c = 2x^{\frac{3}{2}} + c$.
8. $x^{3} + 4$ — $f(x) = x^{3} + c$. מציבים $(1,5): 1 + c = 5, c = 4$. לכן $f(x) = x^{3} + 4$.
9. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
10. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2x - 6)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
11. 40 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 40 - 0 = 40$.
12. 16 — $F(x) = x^{4}. F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16$.
13. 2 — השטח $= \int$ מ-0 עד 1 של $(6x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{3}$. השטח $= F(1) - F(0) = 2. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
14. $5x^{3} - x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (15x^{2} - 1)dx = 5x^{3} - x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
15. 30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
16. $x^{4} + x^{3} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} + 3x^{2})dx = x^{4} + x^{3} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
17. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
18. 108 — $F(x) = 4x^{3}. F(3) - F(0) = 108 - 0 = 108$.
19. 49 — $F(x) = x^{2}. F(7) - F(0) = 49 - 0 = 49$.
20. 16 — $F(x) = 2x^{2}. F(3) - F(1) = 18 - 2 = 16$.
21. $-\frac{1}{x} + c$ — $\frac{1}{x}^{2} = x^{-2}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{-2}dx = x^{-1}/(-1) + c = -\frac{1}{x} + c$.
22. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
23. $\frac{1}{8}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int x^{7}dx = 1 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{8}x^{8} + c$.
24. 36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
25. 8 — $F(x) = x^{2} - 4x. F(5) - F(1) = 5 - -3 = 8$.
26. 56 — $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
27. 32 — $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(8) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
28. $\frac{1}{7}x^{7} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{6} dx = 1 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{1}{7}x^{7} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
29. $\frac{3}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{3}dx = 3 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{3}{4}x^{4} + c$.
30. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
31. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
32. $\frac{11}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 11x^{2}dx = 11 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{11}{3}x^{3} + c$.
33. $x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} - 9x^{2} + 2)dx = x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
34. $4x^{2} + 5$ — $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים $(1,9): 4 + c = 9, c = 5$. לכן $f(x) = 4x^{2} + 5$.
35. $\frac{4}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{6}dx = 4 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{4}{7}x^{7} + c$.