תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
2. $2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $2x^{2}$ נותנת 4x.
3. $\frac{3}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 3xdx = 3 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{3}{2}x^{2} + c$.
4. $2x^{3} + 2$ — $f(x) = 2x^{3} + c$. מציבים $(1,4): 2 + c = 4, c = 2$. לכן $f(x) = 2x^{3} + 2$.
5. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
6. $4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
7. $\frac{1}{8}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int x^{7}dx = 1 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{8}x^{8} + c$.
8. $\frac{11}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 11x^{2}dx = 11 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{11}{3}x^{3} + c$.
9. 3 — $F(x) = 3x^{3}. F(1) - F(0) = 3 - 0 = 3$.
10. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
11. 5 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(7) - F(2) = 7 - 2 = 5$.
12. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
13. 108 — $F(x) = 4x^{3}. F(3) - F(0) = 108 - 0 = 108$.
14. $x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{5}dx = 6 \cdot x^{6}/6 + c = x^{6} + c$.
15. 56 — $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
16. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
17. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2x - 6)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
18. $2x^{2} + 3$ — $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים $(0,3): 0 + c = 3, c = 3$. לכן $f(x) = 2x^{2} + 3$.
19. x + c — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x + c$. בדיקה: גזירת x נותנת 1.
20. $2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.
21. $\frac{1}{7}x^{7} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{6} dx = 1 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{1}{7}x^{7} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
22. $\frac{2}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{5}dx = 4 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{2}{3}x^{6} + c$.
23. $\frac{14}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 14x^{2}dx = 14 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{14}{3}x^{3} + c$.
24. $x^{2} - 4x + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} - 4x + c$. מציבים את הנקודה $(3,1): -3 + c = 1$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} - 4x + 4$.
25. $(\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c$ — $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{\frac{1}{2}}dx = x^{\frac{3}{2}}/(\frac{3}{2}) + c = (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c. ($אפשר לכתוב גם $(\frac{2}{3})x\sqrt{x} + c)$.
26. 2 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 2 - 0 = 2$.
27. 16 — $F(x) = 2x^{3}. F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16$.
28. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
29. 81 — $F(x) = x^{4}. F(3) - F(0) = 81 - 0 = 81$.
30. $\frac{1}{2}x^{2} + 2$ — $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + c$. מציבים $(4,10): 8 + c = 10, c = 2$. לכן $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
31. 4 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 4x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 4 - 0 = 4$.
32. 243 — $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}. F(9) - F(0) = 243 - 0 = 243$.
33. 8 — $F(x) = x^{2} - 4x. F(5) - F(1) = 5 - -3 = 8$.
34. $x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
35. 24 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(3x - 12)dx = -24$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-24| = 24$.