תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $\frac{1}{6}x^{6} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{5} dx = 1 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{1}{6}x^{6} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
2. 26 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(1) = 27 - 1 = 26$.
3. $\frac{8}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{4}dx = 8 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{8}{5}x^{5} + c$.
4. $\frac{2}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{6}dx = 2 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{2}{7}x^{7} + c$.
5. $2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.
6. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
7. 15 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 4) - (2) = 2x + 2. \int$ מ-0 עד 3 של $(2x + 2)dx = 15$.
8. $\frac{1}{2}x^{2} + 2$ — $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + c$. מציבים $(4,10): 8 + c = 10, c = 2$. לכן $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
9. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
10. 24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
11. 20 — $F(x) = 5x^{2}. F(2) - F(0) = 20 - 0 = 20$.
12. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (3x^{2}) - (0) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
13. $-\frac{2}{x} + c$ — $\frac{2}{x}^{2} = 2x^{-2}. \int 2x^{-2}dx = 2 \cdot x^{-1}/(-1) + c = -\frac{2}{x} + c$.
14. $5x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 10x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 5x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $5x^{2}$ נותנת 10x.
15. $x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{5}dx = 6 \cdot x^{6}/6 + c = x^{6} + c$.
16. 72 — $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}. F(6) - F(0) = 72 - 0 = 72$.
17. 24 — $F(x) = x^{2} + 2x. F(4) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
18. 64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
19. 10 — $F(x) = x^{2} + 3x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
20. 21 — $F(x) = x^{2} + 4x. F(3) - F(0) = 21 - 0 = 21$.
21. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
22. $x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,5): 1 + c = 5$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 4$.
23. $\frac{12}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{4}dx = 12 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{12}{5}x^{5} + c$.
24. $\frac{4}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{6}dx = 4 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{4}{7}x^{7} + c$.
25. $7x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 21x^{2}dx = 21 \cdot x^{3}/3 + c = 7x^{3} + c$.
26. 18 — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18$.
27. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 4 של $(x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. השטח $= F(4) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
28. $\frac{3}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{6}dx = 3 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{3}{7}x^{7} + c$.
29. 16 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 3) - (3) = 2x. \int$ מ-0 עד 4 של $(2x)dx = 16$.
30. $\frac{7}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{3}dx = 7 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{7}{4}x^{4} + c$.
31. $x^{2} - 2x - 1$ — $f(x) = x^{2} - 2x + c$. מציבים $(3,2): 3 + c = 2, c = -1$. לכן $f(x) = x^{2} - 2x - 1$.
32. $\frac{4}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{4}dx = 4 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{4}{5}x^{5} + c$.
33. $\frac{7}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{2}dx = 7 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{7}{3}x^{3} + c$.
34. 81 — $F(x) = x^{4}. F(3) - F(0) = 81 - 0 = 81$.
35. 90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.