תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
2. 15 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 4) - (2) = 2x + 2. \int$ מ-0 עד 3 של $(2x + 2)dx = 15$.
3. 30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
4. 40 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 40 - 0 = 40$.
5. 32 — $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(8) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
6. $x^{3} + x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (3x^{2} + 2x)dx = x^{3} + x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
7. $3x^{4} - 3x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (12x^{3} - 6x)dx = 3x^{4} - 3x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
8. 40 — $F(x) = 5x^{2}. F(3) - F(1) = 45 - 5 = 40$.
9. 9 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(0) = 9. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
10. $\frac{3}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 3xdx = 3 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{3}{2}x^{2} + c$.
11. $-\frac{1}{x} + c$ — $\frac{1}{x}^{2} = x^{-2}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{-2}dx = x^{-1}/(-1) + c = -\frac{1}{x} + c$.
12. 54 — $F(x) = 2x^{3}. F(3) - F(0) = 54 - 0 = 54$.
13. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{2}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
14. $\frac{2}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{5}dx = 4 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{2}{3}x^{6} + c$.
15. $\frac{1}{5}x^{10} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{9}dx = 2 \cdot x^{10}/10 + c = \frac{1}{5}x^{10} + c$.
16. 81 — $F(x) = x^{4}. F(3) - F(0) = 81 - 0 = 81$.
17. $\frac{1}{5}x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{4} dx = 1 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{1}{5}x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
18. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
19. $\frac{5}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 5xdx = 5 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{5}{2}x^{2} + c$.
20. 64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
21. $x^{5} + x^{2} + 7x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (5x^{4} + 2x + 7)dx = x^{5} + x^{2} + 7x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
22. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
23. 4 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 4x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 4 - 0 = 4$.
24. $2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $2x^{2}$ נותנת 4x.
25. $\frac{1}{2}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x^{3} dx = 2 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{2}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
26. $2x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 4xdx = 4 \cdot x^{2}/2 + c = 2x^{2} + c$.
27. 5 — השטח $= \int$ מ-0 עד 5 של $(1)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x$. השטח $= F(5) - F(0) = 5. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
28. 16 — $F(x) = x^{4}. F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16$.
29. $x^{3}/3 - \frac{1}{x} + c$ — $\int x^{2}dx = x^{3}/3, \int x^{-2}dx = -\frac{1}{x}$. סהכ: $x^{3}/3 - \frac{1}{x} + c$.
30. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 3x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
31. 8 — השטח $= \int$ מ-1 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(1) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
32. 16 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 3) - (3) = 2x. \int$ מ-0 עד 4 של $(2x)dx = 16$.
33. $3x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{3}dx = 12 \cdot x^{4}/4 + c = 3x^{4} + c$.
34. $\frac{7}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 7xdx = 7 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{7}{2}x^{2} + c$.
35. $\frac{1}{4}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{3} dx = 1 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{4}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.