תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $x^{2} + x + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 2x + 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{2} + x + c$. בדיקה: גזירת $x^{2} + x$ נותנת 2x + 1.
2. 10 — $F(x) = x^{3} + x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
3. 24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
4. $\frac{4}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{6}dx = 4 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{4}{7}x^{7} + c$.
5. $6x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 18x^{2}dx = 18 \cdot x^{3}/3 + c = 6x^{3} + c$.
6. 9 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 3 של $(-2x)dx = -9$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-9| = 9$.
7. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
8. $2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $2x^{2}$ נותנת 4x.
9. $\frac{2}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{2}dx = 2 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{2}{3}x^{3} + c$.
10. 90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
11. $\frac{1}{2}x^{2} + 2$ — $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + c$. מציבים $(4,10): 8 + c = 10, c = 2$. לכן $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
12. $\frac{128}{3}$ — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(4) - F(0) = \frac{128}{3} - 0 = \frac{128}{3}$.
13. $x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
14. $\frac{63}{2}$ — $F(x) = \frac{3}{2}x^{2}. F(5) - F(2) = \frac{75}{2} - 6 = \frac{63}{2}$.
15. $\frac{3}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{3}dx = 3 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{3}{4}x^{4} + c$.
16. $\frac{8}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{4}dx = 8 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{8}{5}x^{5} + c$.
17. $2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.
18. $x^{3} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3}$ נותנת $3x^{2}$.
19. $3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (9x^{2} + 8x - 3)dx = 3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
20. $\frac{4}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{2}dx = 4 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{4}{3}x^{3} + c$.
21. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
22. $\frac{3}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{6}dx = 3 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{3}{7}x^{7} + c$.
23. 36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
24. $x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 5x^{4} dx = 5 \cdot x^{5}/5 + c = x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
25. $5x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 10xdx = 10 \cdot x^{2}/2 + c = 5x^{2} + c$.
26. $\frac{2}{9}x^{9} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{8}dx = 2 \cdot x^{9}/9 + c = \frac{2}{9}x^{9} + c$.
27. 12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (8) - (2x) = -2x + 8. \int$ מ-0 עד 2 של $(-2x + 8)dx = 12$.
28. $x^{2} + x + 3$ — $f(x) = x^{2} + x + c$. מציבים $(2,9): 6 + c = 9, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + x + 3$.
29. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(-x)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
30. $\frac{9}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{3}dx = 9 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{9}{4}x^{4} + c$.
31. $\frac{13}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 13xdx = 13 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{13}{2}x^{2} + c$.
32. $\frac{1}{3}x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{2} dx = 1 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{1}{3}x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
33. 5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13): 10 + c = 13, c = 3$. לכן $f(x) = 5x + 3$.
34. $10x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 30x^{2}dx = 30 \cdot x^{3}/3 + c = 10x^{3} + c$.
35. $\frac{27}{2}$ — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (5x) - (2x) = 3x. \int$ מ-0 עד 3 של $(3x)dx = \frac{27}{2}$.