תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $3x^{2} + x + 3$ — מאנטגרים: $f(x) = 3x^{2} + x + c$. מציבים את הנקודה $(0,3): 0 + c = 3$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 3x^{2} + x + 3$.
2. 81 — $F(x) = x^{4}. F(3) - F(0) = 81 - 0 = 81$.
3. $3x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{2}dx = 9 \cdot x^{3}/3 + c = 3x^{3} + c$.
4. $x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 4x^{3} dx = 4 \cdot x^{4}/4 + c = x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
5. 5 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(7) - F(2) = 7 - 2 = 5$.
6. $2x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{3}dx = 8 \cdot x^{4}/4 + c = 2x^{4} + c$.
7. $x^{2} - 4x + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} - 4x + c$. מציבים את הנקודה $(3,1): -3 + c = 1$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} - 4x + 4$.
8. $\frac{7}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 7xdx = 7 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{7}{2}x^{2} + c$.
9. $x^{5} + x^{2} + 7x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (5x^{4} + 2x + 7)dx = x^{5} + x^{2} + 7x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
10. 14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
11. $\frac{1}{3}x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{2} dx = 1 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{1}{3}x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
12. $2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $2x^{2}$ נותנת 4x.
13. 18 — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18$.
14. $2x^{2} + 3$ — $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים $(0,3): 0 + c = 3, c = 3$. לכן $f(x) = 2x^{2} + 3$.
15. 5 — השטח $= \int$ מ-0 עד 5 של $(1)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x$. השטח $= F(5) - F(0) = 5. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
16. $x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 5x^{4} dx = 5 \cdot x^{5}/5 + c = x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
17. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
18. $x^{3} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3}$ נותנת $3x^{2}$.
19. $x^{3} + 2$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{3} + c$. מציבים את הנקודה $(2,10): 8 + c = 10$, ולכן $c = 2$. מסקנה: $f(x) = x^{3} + 2$.
20. 72 — $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}. F(6) - F(0) = 72 - 0 = 72$.
21. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3} + x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
22. 90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
23. 60 — $F(x) = 4x^{2}. F(4) - F(1) = 64 - 4 = 60$.
24. $\frac{1}{2}x^{6} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{5} dx = 3 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{1}{2}x^{6} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
25. $\frac{7}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{2}dx = 7 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{7}{3}x^{3} + c$.
26. $2x^{\frac{3}{2}} + c$ — $3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}. \int 3x^{\frac{1}{2}}dx = 3 \cdot (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c = 2x^{\frac{3}{2}} + c$.
27. 12 — $F(x) = x^{2} - x. F(4) - F(1) = 12 - 0 = 12$.
28. 64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
29. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(-x)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
30. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (6x) - (2x) = 4x. \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx = 8$.
31. $\frac{63}{2}$ — $F(x) = \frac{3}{2}x^{2}. F(5) - F(2) = \frac{75}{2} - 6 = \frac{63}{2}$.
32. 2 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 2 - 0 = 2$.
33. $8x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 24x^{2}dx = 24 \cdot x^{3}/3 + c = 8x^{3} + c$.
34. $3x^{4} - 3x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (12x^{3} - 6x)dx = 3x^{4} - 3x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
35. 5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13)$: $10 + c = 13$, לכן $c = 3$. התשובה היא $f(x) = 5x + 3$. שגיאה נפוצה: $c = 13 - 10 = 3$ אך חלק מהתלמידים טועים בסימן ומקבלים $c = -3$, כלומר $f(x) = 5x - 3$.