תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 5 — השטח $= \int$ מ-0 עד 5 של $(1)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x$. השטח $= F(5) - F(0) = 5. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
2. 14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
3. 10 — $F(x) = x^{3} + x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
4. $x^{2} + x + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 2x + 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{2} + x + c$. בדיקה: גזירת $x^{2} + x$ נותנת 2x + 1.
5. $\frac{128}{3}$ — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(4) - F(0) = \frac{128}{3} - 0 = \frac{128}{3}$.
6. $\frac{3}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{4}dx = 3 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{3}{5}x^{5} + c$.
7. $\frac{11}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 11x^{2}dx = 11 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{11}{3}x^{3} + c$.
8. $10x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 20xdx = 20 \cdot x^{2}/2 + c = 10x^{2} + c$.
9. $x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{2} dx = 3 \cdot x^{3}/3 + c = x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
10. $x^{2} + x + 3$ — $f(x) = x^{2} + x + c$. מציבים $(2,9): 6 + c = 9, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + x + 3$.
11. $x^{3} + x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{3} + x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,6): 2 + c = 6$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{3} + x^{2} + 4$.
12. $\frac{14}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 14x^{2}dx = 14 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{14}{3}x^{3} + c$.
13. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 4 של $(x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. השטח $= F(4) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
14. 24 — $F(x) = x^{2} + 2x. F(4) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
15. 12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (8) - (2x) = -2x + 8. \int$ מ-0 עד 2 של $(-2x + 8)dx = 12$.
16. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
17. 30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
18. $-\frac{1}{x} + c$ — $\frac{1}{x}^{2} = x^{-2}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{-2}dx = x^{-1}/(-1) + c = -\frac{1}{x} + c$.
19. 36 — $F(x) = 4x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
20. $\frac{4}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{2}dx = 4 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{4}{3}x^{3} + c$.
21. $10x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 30x^{2}dx = 30 \cdot x^{3}/3 + c = 10x^{3} + c$.
22. $\frac{7}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 7xdx = 7 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{7}{2}x^{2} + c$.
23. $\frac{2}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{2}dx = 2 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{2}{3}x^{3} + c$.
24. 9 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(0) = 9. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
25. $7x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 21x^{2}dx = 21 \cdot x^{3}/3 + c = 7x^{3} + c$.
26. $\frac{1}{5}x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{4} dx = 1 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{1}{5}x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
27. $x^{3} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3}$ נותנת $3x^{2}$.
28. $4x^{2} + 5$ — $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים $(1,9): 4 + c = 9, c = 5$. לכן $f(x) = 4x^{2} + 5$.
29. $\frac{1}{2}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x^{3} dx = 2 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{2}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
30. $\frac{2}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{5}dx = 4 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{2}{3}x^{6} + c$.
31. 81 — $F(x) = x^{4}. F(3) - F(0) = 81 - 0 = 81$.
32. $2x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{3}dx = 8 \cdot x^{4}/4 + c = 2x^{4} + c$.
33. 26 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(1) = 27 - 1 = 26$.
34. 50 — $F(x) = 2x^{2}. F(5) - F(0) = 50 - 0 = 50$.
35. $\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.