תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $3x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{3}dx = 12 \cdot x^{4}/4 + c = 3x^{4} + c$.
2. 64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
3. 12 — $F(x) = x^{2} - x. F(4) - F(1) = 12 - 0 = 12$.
4. 16 — $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(6) - F(2) = 18 - 2 = 16$.
5. $\frac{3}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{4}dx = 3 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{3}{5}x^{5} + c$.
6. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
7. $\frac{1}{2}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x^{3} dx = 2 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{2}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
8. 108 — $F(x) = 4x^{3}. F(3) - F(0) = 108 - 0 = 108$.
9. $9x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 18xdx = 18 \cdot x^{2}/2 + c = 9x^{2} + c$.
10. $4x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 8x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 4x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $4x^{2}$ נותנת 8x.
11. 1 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$.
12. x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = x + c$. מציבים את הנקודה $(2,5): 2 + c = 5$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = x + 3$.
13. $8x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 24x^{2}dx = 24 \cdot x^{3}/3 + c = 8x^{3} + c$.
14. 81 — $F(x) = x^{4}. F(3) - F(0) = 81 - 0 = 81$.
15. 24 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(3x - 12)dx = -24$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-24| = 24$.
16. 5 — השטח $= \int$ מ-0 עד 5 של $(1)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x$. השטח $= F(5) - F(0) = 5. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
17. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{2}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
18. 10 — $F(x) = x^{2} + 3x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
19. $\frac{2}{9}x^{9} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{8}dx = 2 \cdot x^{9}/9 + c = \frac{2}{9}x^{9} + c$.
20. $x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{2} dx = 3 \cdot x^{3}/3 + c = x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
21. 20 — $F(x) = 3x^{2} - 2x. F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20$.
22. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 3x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
23. $\frac{8}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{2}dx = 8 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{8}{3}x^{3} + c$.
24. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2x - 6)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
25. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
26. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
27. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(-3x^{2})dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
28. $x^{3} + x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{3} + x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,6): 2 + c = 6$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{3} + x^{2} + 4$.
29. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(-x)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
30. $\frac{1}{2}x^{2} + 2$ — $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + c$. מציבים $(4,10): 8 + c = 10, c = 2$. לכן $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
31. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (3x^{2}) - (0) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
32. $\frac{128}{3}$ — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(4) - F(0) = \frac{128}{3} - 0 = \frac{128}{3}$.
33. $\frac{5}{2}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 10x^{3}dx = 10 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{2}x^{4} + c$.
34. $2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.
35. $4x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 20x^{4}dx = 20 \cdot x^{5}/5 + c = 4x^{5} + c$.