תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $\frac{3}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{6}dx = 3 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{3}{7}x^{7} + c$.
2. $5x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 10xdx = 10 \cdot x^{2}/2 + c = 5x^{2} + c$.
3. $\frac{11}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 11x^{2}dx = 11 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{11}{3}x^{3} + c$.
4. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
5. $\frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (x^{2} + x + 1)dx = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
6. 20 — $F(x) = 5x^{2}. F(2) - F(0) = 20 - 0 = 20$.
7. $x^{3} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3}$ נותנת $3x^{2}$.
8. $\frac{8}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{2}dx = 8 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{8}{3}x^{3} + c$.
9. 2 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 1 של $(-6x^{2})dx = -2$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-2| = 2$.
10. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2x - 6)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
11. $\frac{14}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 14x^{2}dx = 14 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{14}{3}x^{3} + c$.
12. 10 — $F(x) = x^{2} + 3x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
13. 36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
14. $x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} - 9x^{2} + 2)dx = x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
15. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (10) - (4x) = -4x + 10. \int$ מ-0 עד 1 של $(-4x + 10)dx = 8$.
16. 12 — $F(x) = x^{2} - x. F(4) - F(1) = 12 - 0 = 12$.
17. 27 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(0) = 27 - 0 = 27$.
18. 40 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 40 - 0 = 40$.
19. $\frac{7}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{3}dx = 7 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{7}{4}x^{4} + c$.
20. $4x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 8x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 4x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $4x^{2}$ נותנת 8x.
21. 30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
22. $8x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 24x^{2}dx = 24 \cdot x^{3}/3 + c = 8x^{3} + c$.
23. $\frac{12}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{4}dx = 12 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{12}{5}x^{5} + c$.
24. 21 — $F(x) = x^{2} + 4x. F(3) - F(0) = 21 - 0 = 21$.
25. $3x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{2}dx = 9 \cdot x^{3}/3 + c = 3x^{3} + c$.
26. 16 — $F(x) = 2x^{2}. F(3) - F(1) = 18 - 2 = 16$.
27. 1 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$.
28. $3x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 6xdx = 6 \cdot x^{2}/2 + c = 3x^{2} + c$.
29. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
30. $9x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 18xdx = 18 \cdot x^{2}/2 + c = 9x^{2} + c$.
31. $x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{2} dx = 3 \cdot x^{3}/3 + c = x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
32. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
33. 32 — $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(8) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
34. $\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.
35. 5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13)$: $10 + c = 13$, לכן $c = 3$. התשובה היא $f(x) = 5x + 3$. שגיאה נפוצה: $c = 13 - 10 = 3$ אך חלק מהתלמידים טועים בסימן ומקבלים $c = -3$, כלומר $f(x) = 5x - 3$.