תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 49 — $F(x) = x^{2}. F(7) - F(0) = 49 - 0 = 49$.
2. $\frac{7}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{3}dx = 7 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{7}{4}x^{4} + c$.
3. $x^{2} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x dx = 2 \cdot x^{2}/2 + c = x^{2} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
4. 12 — $F(x) = x^{2} - x. F(4) - F(1) = 12 - 0 = 12$.
5. 15 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 4) - (2) = 2x + 2. \int$ מ-0 עד 3 של $(2x + 2)dx = 15$.
6. $5x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 15x^{2}dx = 15 \cdot x^{3}/3 + c = 5x^{3} + c$.
7. 27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
8. $x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
9. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
10. $x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{5}dx = 6 \cdot x^{6}/6 + c = x^{6} + c$.
11. 20 — $F(x) = 3x^{2} - 2x. F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20$.
12. 60 — $F(x) = 4x^{2}. F(4) - F(1) = 64 - 4 = 60$.
13. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
14. $\frac{2}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{5}dx = 4 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{2}{3}x^{6} + c$.
15. $x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{2} dx = 3 \cdot x^{3}/3 + c = x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
16. 25 — $F(x) = x^{2}. F(5) - F(0) = 25 - 0 = 25$.
17. $2x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 6x^{2} dx = 6 \cdot x^{3}/3 + c = 2x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
18. $4x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 20x^{4}dx = 20 \cdot x^{5}/5 + c = 4x^{5} + c$.
19. $\frac{3}{8}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{7}dx = 3 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{3}{8}x^{8} + c$.
20. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
21. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 3x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
22. 10 — $F(x) = x^{3} + x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
23. $-\frac{2}{x} + c$ — $\frac{2}{x}^{2} = 2x^{-2}. \int 2x^{-2}dx = 2 \cdot x^{-1}/(-1) + c = -\frac{2}{x} + c$.
24. 32 — $F(x) = 4x^{3}. F(2) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
25. 12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (8) - (2x) = -2x + 8. \int$ מ-0 עד 2 של $(-2x + 8)dx = 12$.
26. $\frac{4}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{6}dx = 4 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{4}{7}x^{7} + c$.
27. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
28. $2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (8x^{3} + 6x^{2} + 2)dx = 2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
29. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
30. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
31. $5x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 10x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 5x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $5x^{2}$ נותנת 10x.
32. $\frac{4}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{4}dx = 4 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{4}{5}x^{5} + c$.
33. $2x^{2} + 3$ — $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים $(0,3): 0 + c = 3, c = 3$. לכן $f(x) = 2x^{2} + 3$.
34. 24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
35. $\frac{1}{5}x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{4} dx = 1 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{1}{5}x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.