תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{5}dx = 6 \cdot x^{6}/6 + c = x^{6} + c$.
2. $x^{2} - 5x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (2x - 5)dx = x^{2} - 5x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
3. 54 — $F(x) = 2x^{3}. F(3) - F(0) = 54 - 0 = 54$.
4. $4x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(2,20): 16 + c = 20$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = 4x^{2} + 4$.
5. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (3x^{2}) - (0) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
6. $\frac{3}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{6}dx = 3 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{3}{7}x^{7} + c$.
7. 40 — $F(x) = 5x^{2}. F(3) - F(1) = 45 - 5 = 40$.
8. $4x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 8x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 4x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $4x^{2}$ נותנת 8x.
9. $\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.
10. $10x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 20xdx = 20 \cdot x^{2}/2 + c = 10x^{2} + c$.
11. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(-x)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
12. $\frac{9}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 9xdx = 9 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{9}{2}x^{2} + c$.
13. $\frac{2}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{5}dx = 4 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{2}{3}x^{6} + c$.
14. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
15. $x^{3} + x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (3x^{2} + 2x)dx = x^{3} + x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
16. 2 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 1 של $(-6x^{2})dx = -2$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-2| = 2$.
17. 12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (8) - (2x) = -2x + 8. \int$ מ-0 עד 2 של $(-2x + 8)dx = 12$.
18. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (4x^{2}) - (x^{2}) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
19. 64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
20. 27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
21. 5x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = 5x + c$. מציבים את הנקודה $(1,8): 5 + c = 8$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 5x + 3$.
22. x + c — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x + c$. בדיקה: גזירת x נותנת 1.
23. 14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
24. $x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 2x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $x^{2}$ נותנת 2x.
25. $x^{3} + 2x + 3$ — $f(x) = x^{3} + 2x + c$. מציבים $(1,6): 3 + c = 6, c = 3$. לכן $f(x) = x^{3} + 2x + 3$.
26. 75 — $F(x) = 3x^{2}. F(5) - F(0) = 75 - 0 = 75$.
27. $x^{2} - 2x - 1$ — $f(x) = x^{2} - 2x + c$. מציבים $(3,2): 3 + c = 2, c = -1$. לכן $f(x) = x^{2} - 2x - 1$.
28. $2x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 4xdx = 4 \cdot x^{2}/2 + c = 2x^{2} + c$.
29. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (10) - (4x) = -4x + 10. \int$ מ-0 עד 1 של $(-4x + 10)dx = 8$.
30. $\frac{5}{6}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{5}dx = 5 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{5}{6}x^{6} + c$.
31. 9 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(0) = 9. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
32. 16 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 3) - (3) = 2x. \int$ מ-0 עד 4 של $(2x)dx = 16$.
33. $x^{2} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x dx = 2 \cdot x^{2}/2 + c = x^{2} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
34. 60 — $F(x) = 4x^{2}. F(4) - F(1) = 64 - 4 = 60$.
35. 10 — $F(x) = x^{3} + x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.