תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
2. מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. מקדם $x^2$ שלילי — פרבולה פתוחה כלפי מטה, לכן מקסימום.
3. $-\frac{1}{x^2}$ — $\frac{1}{x}=x^{-1}$, ולכן הנגזרת $-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
4. $1+\frac{1}{x^2}$ — $f(x)=x-x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-(-x^{-2})=1+\frac{1}{x^2}$.
5. $x^2-1$ — נגזרת $\frac{1}{3}x^3$ היא $\frac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2$, ונגזרת $-x$ היא $-1$, לכן $f'(x)=x^2-1$.
6. נגדיים — $f'(1)=2$ ו-$f'(-1)=-2$, ולכן השיפועים נגדיים זה לזה.
7. $6$ — $f'(x)=6x+7$, ולכן $f''(x)=6$.
8. $x=3$ — $f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=0$ נותן $x^2=9$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=3$. ערך המינימום $3+3=6$.
9. $3x^2-2$ — לפי כלל החזקה $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$: נגזרת $x^3$ היא $3x^2$ ונגזרת $-2x$ היא $-2$.
10. $x=4$ — $f'(x)=2x=8$ נותן $x=4$.
11. $\frac{2}{\sqrt{x}}$ — $f(x)=4x^{1/2}$, לכן $f'(x)=4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{x}}$.
12. $x=20$ — $P'(x)=-2x+40=0$ נותן $x=20$. מקדם שלילי — מקסימום.
13. מקסימום ב-$x=-1$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x=\pm 1$. $f''(x)=6x$: $f''(-1)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
14. $x=1$ — $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=0$ נותן $x^2=1$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=1$. שם מינימום (ערך $2$).
15. $\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $f(x)=x^{1/2}+x^{-1/2}$, ולכן $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}x^{-3/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
16. $(3,-4)$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$, ו-$f(3)=9-18+5=-4$, לכן הקיצון ב-$(3,-4)$.
17. $9x^2-2x+6$ — לפי כלל המכפלה: $3(x^2+2)+(3x-1)(2x)=3x^2+6+6x^2-2x=9x^2-2x+6$.
18. $2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2$ — כלל מכפלה: $u=x^2,\ u'=2x$; $v=(x-1)^3,\ v'=3(x-1)^2$. אז $f'=2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2$.
19. $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $f'(x)=12x^2-9=0$ נותן $x^2=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, ולכן $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
20. $3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.
21. $-1<x<3$ — $f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)<0$ בין השורשים, כלומר $-1<x<3$.
22. $\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
23. $x=0,\ x=2$ — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ נותן $x=0$ או $x=2$.
24. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
25. $\frac{1}{2}$ — $f'(x)=-\frac{2}{x^2}$, $f'(1)=-2$. שיפוע הנורמל $-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$.
26. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f(x)=3x^2-x^3$, $f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=6-6x$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
27. אין נקודה אחרת — המשיק היחיד דרך הראשית הוא $y=0$ — משיק בנקודה $(a,a^2)$ הוא $y=2a x-a^2$. כדי שיעבור דרך $(0,0)$ צריך $-a^2=0$, כלומר $a=0$. לכן המשיק היחיד הוא $y=0$.
28. מינימום ב-$x=0$ — $f'(x)=\frac{4x(x^2+1)-2x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת שלילית לפני וחיובית אחרי — מינימום.
29. אף אחת — $f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\ge 0$ ואינו מחליף סימן, לכן הפונקציה עולה (לא יורדת) ואין נקודות קיצון.
30. נקודת מקסימום — $f'=0$ עם $f''<0$ פירושו נקודת מקסימום מקומי.
31. $-6(5-2x)^2$ — כלל השרשרת: $3(5-2x)^2\cdot(-2)=-6(5-2x)^2$.
32. לא קיצון (הנגזרת לא מחליפה סימן) — $f'(x)=3(x-2)^2\ge 0$ תמיד ואינו מחליף סימן ב-$x=2$, לכן אין שם קיצון.
33. $\frac{4x}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x[(x^2+1)-(x^2-1)]}{(x^2+1)^2}=\frac{2x\cdot 2}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$.
34. $\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ — כלל המכפלה: $1\cdot\sqrt{x+1}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$.
35. $x>2$ — $f'(x)=2x-4>0$ נותן $x>2$. שם הפונקציה עולה.