תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $-16$ — מינימום ב-$x=2$: $f(2)=8-24=-16$.
2. $4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
3. $5$ — $f'(a)=2a=10$, ולכן $a=5$.
4. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.
5. $-2x^{-3}$ — לפי כלל החזקה $(x^{-2})'=-2x^{-3}$.
6. $-6(5-2x)^2$ — כלל השרשרת: $3(5-2x)^2\cdot(-2)=-6(5-2x)^2$.
7. אין נקודה אחרת — המשיק היחיד דרך הראשית הוא $y=0$ — משיק בנקודה $(a,a^2)$ הוא $y=2a x-a^2$. כדי שיעבור דרך $(0,0)$ צריך $-a^2=0$, כלומר $a=0$. לכן המשיק היחיד הוא $y=0$.
8. $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $f'(1)=\frac{1}{2}$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=\frac{1}{2}(x-1)$, כלומר $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.
9. $-1$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, ולכן $f'(1)=-1$.
10. $1$ — $f'(x)=2x-3$, $f'(2)=1$. (אכן המשיק $y=x-4$ חותך את ציר $y$ ב-$-4$.)
11. $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$, ולכן הנגזרת $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
12. $6$ — $f'(x)=2x$, ולכן השיפוע $f'(3)=6$.
13. $3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
14. $\frac{1}{3}x^{-2/3}$ — $(x^{1/3})'=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}$.
15. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
16. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
17. $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ — $f'(1)=2$, שיפוע הנורמל $-\frac{1}{2}$. הנקודה $(1,0)$. הנורמל: $y-0=-\frac{1}{2}(x-1)$, כלומר $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.
18. $x=3,\ x=-3$ — המכנה $x^2-9=(x-3)(x+3)$ מתאפס ב-$x=\pm 3$, והמונה אינו, לכן שתי אסימפטוטות: $x=3$ ו-$x=-3$.
19. $1<x<3$ — $f'(x)=3(x-1)(x-3)<0$ בין השורשים, כלומר $1<x<3$.
20. $-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
21. אף אחת — $f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0$ תמיד, לכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
22. $y=-x$ — $f'(x)=3x^2-1$, $f'(0)=-1$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=-x$.
23. $2x$ — $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$. כאשר $h\to 0$ מתקבל $2x$.
24. $8x^3-6x$ — נגזרת $2x^4$ היא $8x^3$, נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$, ונגזרת קבוע היא $0$. לכן $f'(x)=8x^3-6x$.
25. $3x^2-2$ — לפי כלל החזקה $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$: נגזרת $x^3$ היא $3x^2$ ונגזרת $-2x$ היא $-2$.
26. $x=0,\ x=2$ — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ נותן $x=0$ או $x=2$.
27. $16$ — $f'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$. מקסימום ב-$x=-2$: $f(-2)=-8+24=16$.
28. $(2,4)$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. $f(2)=-4+8=4$. הנקודה $(2,4)$.
29. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם חיובי, לכן זה מינימום.
30. $\frac{-2}{(2x-1)^2}$ — $f(x)=(2x-1)^{-1}$. כלל השרשרת: $-(2x-1)^{-2}\cdot 2=\frac{-2}{(2x-1)^2}$.
31. $2$ — המקסימום ב-$x=-1$: $f(-1)=-1+3=2$.
32. $\frac{4x}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x[(x^2+1)-(x^2-1)]}{(x^2+1)^2}=\frac{2x\cdot 2}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$.
33. מקסימום מקומי — הנגזרת מחליפה מחיובי לשלילי, כלומר הפונקציה עולה ואז יורדת — מקסימום מקומי.
34. $x>2$ — $f'(x)=2x-4>0$ נותן $x>2$. שם הפונקציה עולה.
35. $(0,1)$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$. $f(0)=1$, לכן נקודת הפיתול $(0,1)$.