תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $x=0$ (ערך $4$) — $f'(x)=\frac{-8x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת חיובית לפני ושלילית אחרי — מקסימום. $f(0)=4$.
2. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
3. $3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.
4. $x=-1$ — $f'(x)=4x=-4$ נותן $x=-1$.
5. $3x^2-6x+3$ — גוזרים: $3x^2-6x+3=3(x-1)^2$. שני הביטויים שווים, אך התשובה הנכונה כמסיח היא $3x^2-6x+3$.
6. $4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
7. $y=0$ — כאשר $x\to\pm\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$, לכן האסימפטוטה האופקית היא $y=0$.
8. $12(3x-2)^3$ — כלל השרשרת: $4(3x-2)^3\cdot 3=12(3x-2)^3$.
9. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
10. $-\frac{6}{x^3}$ — $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$, ולכן הנגזרת $3\cdot(-2)x^{-3}=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}$.
11. $x=1$ — $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=0$ נותן $x^2=1$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=1$. שם מינימום (ערך $2$).
12. $-16$ — מינימום ב-$x=2$: $f(2)=8-24=-16$.
13. אף אחת — $f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0$ תמיד, לכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
14. $x<2$ — $f'(x)=2x-4<0$ נותן $x<2$. שם הפונקציה יורדת.
15. $2$ (מקסימום ב-$x=0$) — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. מקסימום ב-$x=0$: $f(0)=2$. מינימום ב-$x=2$: $f(2)=8-12+2=-2$. הגדול הוא $2$.
16. $4$ — מינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-2+5=4$.
17. $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ — $f'(1)=2$, שיפוע הנורמל $-\frac{1}{2}$. הנקודה $(1,0)$. הנורמל: $y-0=-\frac{1}{2}(x-1)$, כלומר $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.
18. $t=2$ — $h'(t)=20-10t=0$ נותן $t=2$ שניות. שם הגובה מקסימלי.
19. $-2$ — כלל המנה: $f'(x)=\frac{1\cdot(x-2)-x\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{-2}{(x-2)^2}$. ב-$x=3$: $\frac{-2}{1}=-2$.
20. $6$ — $f'(x)=2x$, ולכן השיפוע $f'(3)=6$.
21. $y=2x$ — $f'(x)=2x+2$, $f'(0)=2$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=2x$.
22. $y=-x$ — $f'(x)=3x^2-1$, $f'(0)=-1$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=-x$.
23. $5x^4$ — לפי כלל החזקה $(x^5)'=5x^{4}$.
24. נקודת מינימום — $f'=0$ עם $f''>0$ פירושו נקודת מינימום מקומי.
25. $y=2x-6$ — $f'(x)=2x-4$, $f'(3)=2$. $f(3)=9-12+3=0$, הנקודה $(3,0)$. המשיק: $y-0=2(x-3)$, כלומר $y=2x-6$.
26. $3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
27. אף אחת — $f''(x)=12x^2\ge 0$ לכל $x$ ואינו מחליף סימן (תמיד אי-שלילי), לכן אין נקודת פיתול.
28. $1<x<4$ — $f'(x)<0$ בין השורשים $1$ ו-$4$, לכן $f$ יורדת ב-$1<x<4$.
29. לא קיצון (הנגזרת לא מחליפה סימן) — $f'(x)=3(x-2)^2\ge 0$ תמיד ואינו מחליף סימן ב-$x=2$, לכן אין שם קיצון.
30. $(0,1)$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$. $f(0)=1$, לכן נקודת הפיתול $(0,1)$.
31. $\frac{7}{(2x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{3(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}=\frac{6x+3-6x+4}{(2x+1)^2}=\frac{7}{(2x+1)^2}$.
32. $5$ — $f'(a)=2a=10$, ולכן $a=5$.
33. $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}$. נכפיל מונה ומכנה ב-$2\sqrt{x}$: $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.
34. $y=1$ — מעלות שוות, יחס המקדמים המובילים $\frac{1}{1}=1$, לכן $y=1$.
35. $x=4$ — $A'=2x-\frac{128}{x^2}=0$ נותן $2x^3=128$, כלומר $x^3=64$, $x=4$.