תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}$. נכפיל מונה ומכנה ב-$2\sqrt{x}$: $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.
2. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם חיובי, לכן זה מינימום.
3. נקודת מינימום — $f'=0$ עם $f''>0$ פירושו נקודת מינימום מקומי.
4. $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ — $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
5. $x=2$ (וגם $x=0$) — $f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)=0$ נותן $x=0$ ו-$x=2$. בשתיהן הקעירות מתחלפת — נקודות פיתול.
6. מקסימום ב-$x=1$, מינימום ב-$x=-1$ — $f'(x)=\frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=\pm 1$. ב-$x=1$ מקסימום, ב-$x=-1$ מינימום.
7. $2x$ — $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$. כאשר $h\to 0$ מתקבל $2x$.
8. $\frac{2}{\sqrt{x}}$ — $f(x)=4x^{1/2}$, לכן $f'(x)=4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{x}}$.
9. $x=0$ — המכנה $x=0$ והמונה $x^2-1=-1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=0$.
10. $(0,1)$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$. $f(0)=1$, לכן נקודת הפיתול $(0,1)$.
11. נקודת פיתול אופקית (לא קיצון) — $f'(x)=3x^2\ge 0$ ואינו מחליף סימן ב-$x=0$, לכן זו אינה נקודת קיצון אלא נקודת פיתול עם משיק אופקי.
12. לא קיצון (הנגזרת לא מחליפה סימן) — $f'(x)=3(x-2)^2\ge 0$ תמיד ואינו מחליף סימן ב-$x=2$, לכן אין שם קיצון.
13. $x=2$ — שיפוע הישר $-\frac{1}{4}$, ולכן שיפוע המשיק המאונך הוא $4$. $f'(x)=2x=4$ נותן $x=2$.
14. $\frac{1}{4}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, ולכן $f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$.
15. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$.
16. $y=3x+2$ — $f'(x)=3x^2$, $f'(-1)=3$. הנקודה $(-1,-1)$. המשיק: $y-(-1)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+2$.
17. $4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
18. $\frac{2x}{(x+1)^3}$ — כלל השרשרת: $2\cdot\frac{x}{x+1}\cdot\left(\frac{x}{x+1}\right)'$. הנגזרת הפנימית $\frac{1}{(x+1)^2}$, לכן $2\cdot\frac{x}{x+1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{2x}{(x+1)^3}$.
19. $\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ — כלל המכפלה: $1\cdot\sqrt{x+1}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$.
20. $5x^4$ — לפי כלל החזקה $(x^5)'=5x^{4}$.
21. $5$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. מקסימום ב-$x=1$: $f(1)=1-6+9+1=5$.
22. $2$ — המינימום ב-$x=1$: $f(1)=1+1=2$.
23. $3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
24. $x=3$ — המכנה מתאפס ב-$x=3$ (והמונה אינו), לכן האסימפטוטה האנכית היא $x=3$.
25. $-6x+8$ — נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$ ונגזרת $8x$ היא $8$, לכן $f'(x)=-6x+8$.
26. $3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.
27. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f(x)=3x^2-x^3$, $f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=6-6x$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
28. $\frac{2}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$.
29. $12(3x-2)^3$ — כלל השרשרת: $4(3x-2)^3\cdot 3=12(3x-2)^3$.
30. $x=1$ — המכנה מתאפס ב-$x=1$ והמונה $x^2=1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=1$.
31. נגדיים — $f'(1)=2$ ו-$f'(-1)=-2$, ולכן השיפועים נגדיים זה לזה.
32. $1$ — מינימום ב-$x=3$: $f(3)=27-54+27+1=1$.
33. $2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.
34. $\frac{5}{2}x^{3/2}$ — $x^2\sqrt{x}=x^{5/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{5}{2}x^{3/2}$.
35. 2 קיצון, 1 פיתול — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ מתאפס ב-$x=0,2$ (שתי נקודות קיצון). $f''(x)=6x-6$ מתאפס ב-$x=1$ (נקודת פיתול אחת).