תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $12x^2-12x$ — $f'(x)=4x^3-6x^2$, ולכן $f''(x)=12x^2-12x$.
2. $2$ — המינימום ב-$x=1$: $f(1)=1+1=2$.
3. $9$ — $f'(x)=3x^2-3$, ולכן $f'(2)=3\cdot 4-3=9$.
4. $x=2$ — $S=24x-2x^3$, $S'=24-6x^2=0$ נותן $x^2=4$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=2$.
5. $x<-2$ או $x>1$ — $f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)>0$ כאשר $x<-2$ או $x>1$.
6. אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
7. $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
8. $y=3x-2$ — $f'(x)=3x^2$, השיפוע $f'(1)=3$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
9. קעור כלפי מעלה — $f''>0$ פירושו שהגרף קעור כלפי מעלה (כמו כוס שמחזיקה מים).
10. $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ — $f'(1)=2$, שיפוע הנורמל $-\frac{1}{2}$. הנקודה $(1,0)$. הנורמל: $y-0=-\frac{1}{2}(x-1)$, כלומר $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.
11. $\frac{-3}{(x+4)^2}$ — כלל המנה: $\frac{0\cdot(x+4)-3\cdot 1}{(x+4)^2}=\frac{-3}{(x+4)^2}$.
12. $x=\sqrt{50}$ — $P'=2-\frac{100}{x^2}=0$ נותן $x^2=50$, כלומר $x=\sqrt{50}$ (המלבן הוא ריבוע).
13. $-2$ — כלל המנה: $f'(x)=\frac{1\cdot(x-2)-x\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{-2}{(x-2)^2}$. ב-$x=3$: $\frac{-2}{1}=-2$.
14. $f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$, אין קיצון — כלל המנה: $f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
15. $(0,1)$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$. $f(0)=1$, לכן נקודת הפיתול $(0,1)$.
16. $3x^2-2x$ — נפתח: $f(x)=x^3-x^2$, ולכן $f'(x)=3x^2-2x$.
17. $t=2$ — $h'(t)=20-10t=0$ נותן $t=2$ שניות. שם הגובה מקסימלי.
18. $3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.
19. $x=3$ — מקבילות פירושה שיפועים שווים: $f'(x)=2x-2=4$, ולכן $x=3$.
20. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f(x)=3x^2-x^3$, $f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=6-6x$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
21. $3$ ס"מ (חלוקה שווה) — אם חותכים ל-$x$ ו-$24-x$, צלעות הריבועים $\frac{x}{4}$ ו-$\frac{24-x}{4}$. סכום השטחים $S=\frac{x^2}{16}+\frac{(24-x)^2}{16}$. $S'=\frac{2x-2(24-x)}{16}=0$ נותן $x=12$, כלומר כל ריבוע מהיקף $12$ וצלע $3$ ס"מ.
22. $2ax+b$ — גוזרים: $2ax+b$. הקבוע $c$ נעלם.
23. מינימום ב-$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם $x^2$ חיובי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן מינימום.
24. $\frac{1}{\sqrt{x}}+3$ — נגזרת $2\sqrt{x}=2x^{1/2}$ היא $2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, ונגזרת $3x$ היא $3$.
25. $\frac{5}{2}x^{3/2}$ — $x^2\sqrt{x}=x^{5/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{5}{2}x^{3/2}$.
26. $x>0$ — $f''(x)=6x>0$ כאשר $x>0$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
27. $x=5$ — $f'(x)=2x-10=0$ נותן $x=5$. מקדם חיובי — מינימום.
28. $1-\frac{1}{x^2}$ — נפשט: $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}$.
29. $y=3x+2$ — $f'(x)=3x^2$, $f'(-1)=3$. הנקודה $(-1,-1)$. המשיק: $y-(-1)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+2$.
30. $\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ — כלל המכפלה: $1\cdot\sqrt{x+1}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$.
31. $2x-1$ — נפתח: $f(x)=x^2-x-6$, ולכן $f'(x)=2x-1$.
32. מינימום ב-$x=2$ — $f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=0$ נותן $2x^3=16$, כלומר $x^3=8$, $x=2$. $f''(x)=2+\frac{32}{x^3}>0$ ב-$x=2$, לכן מינימום.
33. $\frac{2x}{(x+1)^3}$ — כלל השרשרת: $2\cdot\frac{x}{x+1}\cdot\left(\frac{x}{x+1}\right)'$. הנגזרת הפנימית $\frac{1}{(x+1)^2}$, לכן $2\cdot\frac{x}{x+1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{2x}{(x+1)^3}$.
34. $24$ — $f'(x)=6x(x^2+1)^2$, ולכן $f'(1)=6\cdot 1\cdot(2)^2=6\cdot 4=24$.
35. $x<0$ או $x>2$ — $f'(x)=x(x-2)>0$ מחוץ לשורשים, כלומר $x<0$ או $x>2$.