תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2$ — כלל מכפלה: $u=x^2,\ u'=2x$; $v=(x-1)^3,\ v'=3(x-1)^2$. אז $f'=2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2$.
2. $1-\frac{1}{x^2}$ — נפשט: $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}$.
3. $3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
4. אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
5. $-\frac{1}{x^2}$ — $\frac{1}{x}=x^{-1}$, ולכן הנגזרת $-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
6. $(1,2)$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. $f(1)=1-3+4=2$, לכן נקודת הפיתול $(1,2)$.
7. $-\frac{1}{4}$ — $f'(x)=x^3-x=x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. מינימום ב-$x=\pm 1$: $f(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$.
8. $1$ — $f'(x)=2x-3$, $f'(2)=1$. (אכן המשיק $y=x-4$ חותך את ציר $y$ ב-$-4$.)
9. $3$ — $f'(x)=2x+b$, $f'(1)=2+b=5$, ולכן $b=3$.
10. $15x^2+4x-7$ — גוזרים: $15x^2+4x-7$. הקבוע $+1$ נעלם בגזירה.
11. $y=2$ — מעלות שוות, יחס מקדמים מובילים $\frac{2}{1}=2$, לכן $y=2$.
12. $x=1$ — $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=0$ נותן $x^2=1$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=1$. שם מינימום (ערך $2$).
13. $\frac{-2}{(x+2)^3}$ — נכתוב $f(x)=(x+2)^{-2}$. כלל השרשרת: $-2(x+2)^{-3}\cdot 1=\frac{-2}{(x+2)^3}$.
14. $y=0$ — כאשר $x\to\pm\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$, לכן האסימפטוטה האופקית היא $y=0$.
15. $-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$ — נפשט: $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^{-1}+x^{-2}$, ולכן $f'(x)=-x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$.
16. $3x^2-6x+3$ — גוזרים: $3x^2-6x+3=3(x-1)^2$. שני הביטויים שווים, אך התשובה הנכונה כמסיח היא $3x^2-6x+3$.
17. $-6x+8$ — נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$ ונגזרת $8x$ היא $8$, לכן $f'(x)=-6x+8$.
18. $x=-1$ — $f'(x)=4x=-4$ נותן $x=-1$.
19. $-16$ — מינימום ב-$x=2$: $f(2)=8-24=-16$.
20. $x=4$ — $f'(x)=2x=8$ נותן $x=4$.
21. נקודת פיתול אופקית (לא קיצון) — $f'(x)=3x^2\ge 0$ ואינו מחליף סימן ב-$x=0$, לכן זו אינה נקודת קיצון אלא נקודת פיתול עם משיק אופקי.
22. $\frac{1}{2}$ — $f'(x)=-\frac{2}{x^2}$, $f'(1)=-2$. שיפוע הנורמל $-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$.
23. שתיים — מעבר מעלייה לירידה ב-$x=1$ (מקסימום) ומירידה לעלייה ב-$x=3$ (מינימום) — סך הכל שתי נקודות קיצון.
24. $3x^2-2$ — לפי כלל החזקה $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$: נגזרת $x^3$ היא $3x^2$ ונגזרת $-2x$ היא $-2$.
25. $x=3,\ x=-3$ — המכנה $x^2-9=(x-3)(x+3)$ מתאפס ב-$x=\pm 3$, והמונה אינו, לכן שתי אסימפטוטות: $x=3$ ו-$x=-3$.
26. $y=3x-1$ — $f'(x)=2x+1$, $f'(1)=3$. הנקודה $(1,2)$. המשיק: $y-2=3(x-1)$, כלומר $y=3x-1$.
27. כל $x$ — $f''(x)=2>0$ לכל $x$, לכן הפרבולה קעורה כלפי מעלה תמיד.
28. $9x^2-2x+6$ — לפי כלל המכפלה: $3(x^2+2)+(3x-1)(2x)=3x^2+6+6x^2-2x=9x^2-2x+6$.
29. $x=0$ (ערך $4$) — $f'(x)=\frac{-8x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת חיובית לפני ושלילית אחרי — מקסימום. $f(0)=4$.
30. $-3$ — השיפוע שווה לנגזרת. $f'(x)=2x-5$, ולכן $f'(1)=2-5=-3$.
31. $y=3x-2$ — $f'(x)=3x^2$, השיפוע $f'(1)=3$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
32. $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ — $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
33. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$.
34. $x=0,\ x=2$ — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ נותן $x=0$ או $x=2$.
35. $3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.