תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$, אין קיצון — כלל המנה: $f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
2. מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. מקדם $x^2$ שלילי — פרבולה פתוחה כלפי מטה, לכן מקסימום.
3. $\frac{2}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$.
4. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם חיובי, לכן זה מינימום.
5. $16$ — $f'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$. מקסימום ב-$x=-2$: $f(-2)=-8+24=16$.
6. $-\frac{1}{4}$ — $f'(x)=x^3-x=x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. מינימום ב-$x=\pm 1$: $f(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$.
7. $x=2$ — $S=24x-2x^3$, $S'=24-6x^2=0$ נותן $x^2=4$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=2$.
8. $(3,-4)$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$, ו-$f(3)=9-18+5=-4$, לכן הקיצון ב-$(3,-4)$.
9. $100$ — אם $x+y=20$ אז $y=20-x$ והמכפלה $P=x(20-x)=20x-x^2$. $P'=20-2x=0$ נותן $x=10$, ואז $P=10\cdot 10=100$.
10. $9x^2-2x+6$ — לפי כלל המכפלה: $3(x^2+2)+(3x-1)(2x)=3x^2+6+6x^2-2x=9x^2-2x+6$.
11. $3x^2-6x+3$ — גוזרים: $3x^2-6x+3=3(x-1)^2$. שני הביטויים שווים, אך התשובה הנכונה כמסיח היא $3x^2-6x+3$.
12. כל $x$ — $f''(x)=2>0$ לכל $x$, לכן הפרבולה קעורה כלפי מעלה תמיד.
13. $4$ — מינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-2+5=4$.
14. $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}$. נכפיל מונה ומכנה ב-$2\sqrt{x}$: $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.
15. $(2,4)$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. $f(2)=-4+8=4$. הנקודה $(2,4)$.
16. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
17. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=-6x+6$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
18. $\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{2x-5}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$.
19. $x<2$ — $f'(x)=2x-4<0$ נותן $x<2$. שם הפונקציה יורדת.
20. $x=0$ (ערך $4$) — $f'(x)=\frac{-8x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת חיובית לפני ושלילית אחרי — מקסימום. $f(0)=4$.
21. $9$ — $f'(x)=3x^2-3$, ולכן $f'(2)=3\cdot 4-3=9$.
22. $12(3x-2)^3$ — כלל השרשרת: $4(3x-2)^3\cdot 3=12(3x-2)^3$.
23. $x=4$ — $A'=2x-\frac{128}{x^2}=0$ נותן $2x^3=128$, כלומר $x^3=64$, $x=4$.
24. $\frac{-2}{(x+2)^3}$ — נכתוב $f(x)=(x+2)^{-2}$. כלל השרשרת: $-2(x+2)^{-3}\cdot 1=\frac{-2}{(x+2)^3}$.
25. $x=1,\ x=-1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x^2=1$, כלומר $x=\pm 1$.
26. אף אחת — $f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0$ תמיד, לכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
27. $x=2$ — $f''(x)=6x-12=0$ נותן $x=2$, והנגזרת השנייה מחליפה סימן שם.
28. $x=20$ — $P'(x)=-2x+40=0$ נותן $x=20$. מקדם שלילי — מקסימום.
29. $1<x<3$ — $f'(x)=3(x-1)(x-3)<0$ בין השורשים, כלומר $1<x<3$.
30. $x=5$ — $f'(x)=2x-10=0$ נותן $x=5$. מקדם חיובי — מינימום.
31. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
32. $x<-2$ או $x>1$ — $f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)>0$ כאשר $x<-2$ או $x>1$.
33. $\frac{1}{2}$ — $f'(x)=-\frac{2}{x^2}$, $f'(1)=-2$. שיפוע הנורמל $-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$.
34. $6$ — $f'(x)=3x^2+1$, $f''(x)=6x$, ולכן $f''(1)=6$.
35. $x=\sqrt{50}$ — $P'=2-\frac{100}{x^2}=0$ נותן $x^2=50$, כלומר $x=\sqrt{50}$ (המלבן הוא ריבוע).