תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $x=0$ (ערך $4$) — $f'(x)=\frac{-8x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת חיובית לפני ושלילית אחרי — מקסימום. $f(0)=4$.
2. $\frac{7}{(2x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{3(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}=\frac{6x+3-6x+4}{(2x+1)^2}=\frac{7}{(2x+1)^2}$.
3. $20$ מטר — הגובה המקסימלי ב-$t=2$: $h(2)=40-20=20$ מטר.
4. $12x^2-12x$ — $f'(x)=4x^3-6x^2$, ולכן $f''(x)=12x^2-12x$.
5. $y=-x$ — $f'(x)=3x^2-1$, $f'(0)=-1$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=-x$.
6. $100$ — אם $x+y=20$ אז $y=20-x$ והמכפלה $P=x(20-x)=20x-x^2$. $P'=20-2x=0$ נותן $x=10$, ואז $P=10\cdot 10=100$.
7. $x=1$ — המכנה מתאפס ב-$x=1$ והמונה $x^2=1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=1$.
8. $0$ — נגזרת של פונקציה קבועה שווה תמיד $0$.
9. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, ולכן כאשר $x\to\pm\infty$ הביטוי שואף ל-$0$. האסימפטוטה $y=0$.
10. מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$ — $f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=0$ נותן $x=0,2$. בדיקת סימן: ב-$x=0$ מקסימום, ב-$x=2$ מינימום.
11. $x=-1$ — $f'(x)=4x=-4$ נותן $x=-1$.
12. $-6x+8$ — נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$ ונגזרת $8x$ היא $8$, לכן $f'(x)=-6x+8$.
13. $4x(x^2-1)$ — $f(x)=[(x+1)(x-1)]^2=(x^2-1)^2$. כלל השרשרת: $2(x^2-1)\cdot 2x=4x(x^2-1)$.
14. $y=-x+2$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, $f'(1)=-1$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=-1(x-1)$, כלומר $y=-x+2$.
15. $2$ — המינימום ב-$x=1$: $f(1)=1+1=2$.
16. $3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
17. מקסימום מקומי — הנגזרת מחליפה מחיובי לשלילי, כלומר הפונקציה עולה ואז יורדת — מקסימום מקומי.
18. $6x(x^2+1)^2$ — כלל השרשרת: $3(x^2+1)^2\cdot 2x=6x(x^2+1)^2$.
19. $x=3$ — המכנה מתאפס ב-$x=3$ (והמונה אינו), לכן האסימפטוטה האנכית היא $x=3$.
20. $3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.
21. $100$ — היקף $2(x+y)=40$ נותן $y=20-x$. שטח $S=x(20-x)=20x-x^2$. $S'=20-2x=0$ נותן $x=10$ (ריבוע), $S=100$ סמ"ר.
22. $y=0$ — כאשר $x\to\pm\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$, לכן האסימפטוטה האופקית היא $y=0$.
23. $x=3$ — $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)=0$ נותן $x=3,-1$. $f''(x)=6x-6$: $f''(3)=12>0$ מינימום, $f''(-1)=-12<0$ מקסימום.
24. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.
25. $x=0$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$, והקעירות מתחלפת שם (מקעורה כלפי מטה לכלפי מעלה).
26. אף אחת — $f'(x)=\frac{(x-2)-(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{-4}{(x-2)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת ואין קיצון.
27. $x=3$ — מקבילות פירושה שיפועים שווים: $f'(x)=2x-2=4$, ולכן $x=3$.
28. $\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{3x^2-1}}\cdot 6x=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$.
29. אף אחת — $f'(x)=3x^2+3>0$ לכל $x$, לכן הפונקציה עולה תמיד ואין נקודות קיצון.
30. $-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
31. $4$ — מינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-2+5=4$.
32. $y=3x-2$ — $f'(x)=3x^2$, השיפוע $f'(1)=3$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
33. $f$ עולה תמיד — $f'>0$ בכל מקום פירושו ש-$f$ עולה ממש בכל תחום הגדרתה.
34. מקסימום ב-$x=-1$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x=\pm 1$. $f''(x)=6x$: $f''(-1)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
35. $x>1$ — $f''(x)=6x-6>0$ נותן $x>1$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.