תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $1<x<4$ — $f'(x)<0$ בין השורשים $1$ ו-$4$, לכן $f$ יורדת ב-$1<x<4$.
2. $9$ — $f'(x)=3x^2-3$, ולכן $f'(2)=3\cdot 4-3=9$.
3. $-\frac{1}{4}$ — $f'(x)=x^3-x=x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. מינימום ב-$x=\pm 1$: $f(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$.
4. $t=2$ — $h'(t)=20-10t=0$ נותן $t=2$ שניות. שם הגובה מקסימלי.
5. $x=1,\ x=-1$ — $x^2-1=(x-1)(x+1)=0$ ב-$x=\pm 1$, והמונה $x^2+1$ אינו מתאפס שם, לכן שתי אסימפטוטות אנכיות.
6. $x=2$ (וגם $x=0$) — $f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)=0$ נותן $x=0$ ו-$x=2$. בשתיהן הקעירות מתחלפת — נקודות פיתול.
7. $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ — $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
8. $3$ — $f'(x)=2x+b$, $f'(1)=2+b=5$, ולכן $b=3$.
9. $y=2x$ — $f'(x)=2x+2$, $f'(0)=2$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=2x$.
10. $3$ ס"מ (חלוקה שווה) — אם חותכים ל-$x$ ו-$24-x$, צלעות הריבועים $\frac{x}{4}$ ו-$\frac{24-x}{4}$. סכום השטחים $S=\frac{x^2}{16}+\frac{(24-x)^2}{16}$. $S'=\frac{2x-2(24-x)}{16}=0$ נותן $x=12$, כלומר כל ריבוע מהיקף $12$ וצלע $3$ ס"מ.
11. $4x(x^2-1)$ — $f(x)=[(x+1)(x-1)]^2=(x^2-1)^2$. כלל השרשרת: $2(x^2-1)\cdot 2x=4x(x^2-1)$.
12. $100$ — היקף $2(x+y)=40$ נותן $y=20-x$. שטח $S=x(20-x)=20x-x^2$. $S'=20-2x=0$ נותן $x=10$ (ריבוע), $S=100$ סמ"ר.
13. $y=-x+2$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, $f'(1)=-1$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=-1(x-1)$, כלומר $y=-x+2$.
14. מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. מקדם $x^2$ שלילי — פרבולה פתוחה כלפי מטה, לכן מקסימום.
15. $y=3x+2$ — $f'(x)=3x^2$, $f'(-1)=3$. הנקודה $(-1,-1)$. המשיק: $y-(-1)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+2$.
16. נגדיים — $f'(1)=2$ ו-$f'(-1)=-2$, ולכן השיפועים נגדיים זה לזה.
17. $2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.
18. $100$ — אם $x+y=20$ אז $y=20-x$ והמכפלה $P=x(20-x)=20x-x^2$. $P'=20-2x=0$ נותן $x=10$, ואז $P=10\cdot 10=100$.
19. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
20. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
21. $6$ — $f'(x)=2x$, ולכן השיפוע $f'(3)=6$.
22. $(1,2)$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. $f(1)=1-3+4=2$, לכן נקודת הפיתול $(1,2)$.
23. $\frac{2}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$.
24. אף אחת — $f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0$ תמיד, לכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
25. אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
26. $2(x^2+x+1)(2x+1)$ — כלל השרשרת: $2(x^2+x+1)\cdot(2x+1)$.
27. $3x^2-4x+1$ — לפי כלל המכפלה: $2x(x-2)+(x^2+1)\cdot 1=2x^2-4x+x^2+1=3x^2-4x+1$.
28. $x=3$ — $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)=0$ נותן $x=3,-1$. $f''(x)=6x-6$: $f''(3)=12>0$ מינימום, $f''(-1)=-12<0$ מקסימום.
29. מינימום ב-$x=2$ — $f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=0$ נותן $2x^3=16$, כלומר $x^3=8$, $x=2$. $f''(x)=2+\frac{32}{x^3}>0$ ב-$x=2$, לכן מינימום.
30. $3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
31. $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $f'(1)=\frac{1}{2}$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=\frac{1}{2}(x-1)$, כלומר $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.
32. לא קיצון (הנגזרת לא מחליפה סימן) — $f'(x)=3(x-2)^2\ge 0$ תמיד ואינו מחליף סימן ב-$x=2$, לכן אין שם קיצון.
33. $x=-1$ — $f'(x)=4x=-4$ נותן $x=-1$.
34. $4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
35. $5$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. מקסימום ב-$x=1$: $f(1)=1-6+9+1=5$.