תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $-6x+8$ — נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$ ונגזרת $8x$ היא $8$, לכן $f'(x)=-6x+8$.
2. נקודת מינימום — $f'=0$ עם $f''>0$ פירושו נקודת מינימום מקומי.
3. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם חיובי, לכן זה מינימום.
4. $y=2$ — מעלות שוות, יחס מקדמים מובילים $\frac{2}{1}=2$, לכן $y=2$.
5. $y=2$ — כשהמעלות שוות, האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים: $\frac{2}{1}=2$, כלומר $y=2$.
6. $x=3$ — $f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=0$ נותן $x^2=9$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=3$. ערך המינימום $3+3=6$.
7. $3$ ס"מ (חלוקה שווה) — אם חותכים ל-$x$ ו-$24-x$, צלעות הריבועים $\frac{x}{4}$ ו-$\frac{24-x}{4}$. סכום השטחים $S=\frac{x^2}{16}+\frac{(24-x)^2}{16}$. $S'=\frac{2x-2(24-x)}{16}=0$ נותן $x=12$, כלומר כל ריבוע מהיקף $12$ וצלע $3$ ס"מ.
8. $1<x<4$ — $f'(x)<0$ בין השורשים $1$ ו-$4$, לכן $f$ יורדת ב-$1<x<4$.
9. $8x-4$ — נפתח: $f(x)=4x^2-4x+1$, ולכן $f'(x)=8x-4$. (גם כלל שרשרת: $2(2x-1)\cdot 2=8x-4$.)
10. $-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
11. $12x^2-12x$ — $f'(x)=4x^3-6x^2$, ולכן $f''(x)=12x^2-12x$.
12. מקסימום מקומי — הנגזרת מחליפה מחיובי לשלילי, כלומר הפונקציה עולה ואז יורדת — מקסימום מקומי.
13. אף אחת — $f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0$ תמיד, לכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
14. $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
15. אין נקודה אחרת — המשיק היחיד דרך הראשית הוא $y=0$ — משיק בנקודה $(a,a^2)$ הוא $y=2a x-a^2$. כדי שיעבור דרך $(0,0)$ צריך $-a^2=0$, כלומר $a=0$. לכן המשיק היחיד הוא $y=0$.
16. $y=2x$ — $f'(x)=2x+2$, $f'(0)=2$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=2x$.
17. $x=4$ — $A'=2x-\frac{128}{x^2}=0$ נותן $2x^3=128$, כלומר $x^3=64$, $x=4$.
18. $4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
19. $100$ — אם $x+y=20$ אז $y=20-x$ והמכפלה $P=x(20-x)=20x-x^2$. $P'=20-2x=0$ נותן $x=10$, ואז $P=10\cdot 10=100$.
20. קעור כלפי מעלה — $f''>0$ פירושו שהגרף קעור כלפי מעלה (כמו כוס שמחזיקה מים).
21. $-3$ — השיפוע שווה לנגזרת. $f'(x)=2x-5$, ולכן $f'(1)=2-5=-3$.
22. $\frac{2}{\sqrt{x}}$ — $f(x)=4x^{1/2}$, לכן $f'(x)=4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{x}}$.
23. אף אחת — $f''(x)=12x^2\ge 0$ לכל $x$ ואינו מחליף סימן (תמיד אי-שלילי), לכן אין נקודת פיתול.
24. $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ — $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
25. מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)=0$ נותן $x=0,1$. $f''(x)=12x-6$: $f''(0)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
26. $(1,2)$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. $f(1)=1-3+4=2$, לכן נקודת הפיתול $(1,2)$.
27. $\frac{2}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$.
28. $x=3$ — $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)=0$ נותן $x=3,-1$. $f''(x)=6x-6$: $f''(3)=12>0$ מינימום, $f''(-1)=-12<0$ מקסימום.
29. $x^2-1$ — נגזרת $\frac{1}{3}x^3$ היא $\frac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2$, ונגזרת $-x$ היא $-1$, לכן $f'(x)=x^2-1$.
30. נקודת מקסימום — $f'=0$ עם $f''<0$ פירושו נקודת מקסימום מקומי.
31. $3$ — $f'(x)=2x+b$, $f'(1)=2+b=5$, ולכן $b=3$.
32. $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$, ולכן הנגזרת $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
33. $\frac{1}{3}x^{-2/3}$ — $(x^{1/3})'=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}$.
34. מקסימום ב-$x=-1$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x=\pm 1$. $f''(x)=6x$: $f''(-1)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
35. $-\frac{1}{x^2}$ — $\frac{1}{x}=x^{-1}$, ולכן הנגזרת $-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.