גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 3 ס"מ — הפרש בסיסים = 4. הגובה ⊥ לבסיסים יוצר עם השוק האלכסונית משולש ישר זווית: h = √(5² − 4²) = 3.
2. (6, 0) — האמצע צריך להיות (3, 0). אם A(0,0), אז B = (6, 0).
3. 12 — בסיס AB = 4 (אופקי), גובה = |8 − 2| = 6. שטח = ½·4·6 = 12.
4. y = (2/3)x + 17/3 — מסדרים: y = −(3/2)x + 2. m_perp = 2/3. y − 7 = (2/3)(x − 2) ⇒ y = (2/3)x + 17/3.
5. D(3, 6) — D = A + C − B = (2+0−(−1), 3+7−4) = (3, 6).
6. 10 — יחס הצלעות 1:√3:2. היתר = 2 · 5 = 10.
7. 42 — ההפרש בין הבסיסים 8, חצי = 4. גובה = √(25−16) = 3. שטח = ((18+10)·3)/2 = 42.
8. 24 סמ² — שטח = (d₁·d₂)/2 = (6·8)/2 = 24 סמ².
9. x = 1 — אנך אמצעי, M = (1, 0), AB אופקי → x = 1.
10. 28 — שטח = (AB·גובה)/2 = (7·8)/2 = 28. הגובה מ-E ל-AB שווה לגובה הטרפז.
11. 4√3 — גובה = 4·√3/2 = 2√3. שטח = 4·2√3/2 = 4√3.
12. y = (1/2)x — אמצע BC = (4, 2). תיכון מ-A(0,0) ל-(4, 2): y = (1/2)x.
13. 35+√61 ס"מ — החיתוך מסיר את פינה B ומחליף את שני הקטעים שאורכם 5 ו-6 ביתר המשולש. היתר = √(5²+6²) = √61. צלעות המשושה: (AB−5)=10, יתר=√61, (BC−6)=2, CD=15, DA=8. היקף = 10+√61+2+15+8 = 35+√61 ס"מ.
14. C(8, 2) — C = B + D − A = (4+5−1, 5+(−2)−1) = (8, 2). בדיקה: |AB|=5, |AD|=5 ✓.
15. 124 סמ² — 140−16=124 סמ².
16. זוויות קודקודיות שוות — כששני ישרים נחתכים, הזוויות בקודקודים הנגדיים (קודקודיות) שוות זו לזו.
17. 12 ו-8 — 2(a+b)=40 ⇒ a+b=20. a−b=4. a=12, b=8.
18. D(3, 4) — במעוין (מקבילית): D = A + C − B = (0+8−5, 0+4−0) = (3, 4). |AD|=5=|AB| ✓.
19. 2 — מרחק לציר y = |x| = |−2| = 2.
20. 6√3 ס"מ — זוויות בסיס 30°. חצי בסיס = 6·cos 30° = 6·(√3/2) = 3√3. בסיס = 6√3 ס"מ.
21. 1/4 — שני האלכסונים מחלקים את המלבן לארבעה משולשים בעלי שטחים שווים (כל אחד עם אותו בסיס וגובה ביחס למלבן). לכן שטח כל משולש = רבע משטח המלבן.
22. 12 — b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, ולכן b = 12. זה משולש 5-12-13.
23. 5 — a − 2 = 3 ⇒ a = 5.
24. 30 סמ² — שטח מקבילית = a·b·sin θ = 6·10·sin 30° = 60·(1/2) = 30 סמ². מסיח 60 — שכחת sin.
25. (2, 0) ו-(0, −6) — y = 0: x = 2 ⇒ (2, 0). x = 0: y = −6 ⇒ (0, −6).