דלג לתוכן הראשי
GeekHero · כל הגיבורים שלכם במקום אחד — מתמטיקה · אנגלית · עברית · מדעים ←
MathHero
⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה י׳ · יסודות בגרות · 25 שאלות · ~50 דק'
📐

גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

25 שאלות שיפוע, משוואת ישר, מקבילים, ניצבים, אנך אמצעי וזיהוי מרובעים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 25

גאומטריה אנליטית של ישר היא נושא חובה בבגרות 4 יח"ל. הדף כולל חישוב שיפוע, משוואת ישר לפי שתי נקודות / נקודה+שיפוע, זיהוי ישרים מקבילים ומאונכים, מרחק בין נקודות, אמצע קטע, אנך אמצעי, וזיהוי סוג מרובע משיעורי קדקודיו. 25 שאלות בסגנון בגרות 471, מתאימות לתרגול שוטף.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 25 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מקדש הצורות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-50 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

  1. הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
  2. פתרו את כל ה-25 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~50 דקות, אך אין לחץ זמן.
  3. בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
  4. חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
  5. כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-25 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

  1. 1.במקבילית ABCD נתון AB=12, AD=5, וזווית A=90°. הצורה היא:
    (א)מלבן✓
    (ב)ריבוע
    (ג)מעוין
    (ד)טרפז
  2. 2.במשולש שווה שוקיים זווית הראש 120° והשוק באורך 6 ס"מ. מהו אורך הבסיס?
    (א)6√3 ס"מ✓
    (ב)3√3 ס"מ
    (ג)6 ס"מ
    (ד)12 ס"מ
  3. 3.במשולש ישר זווית שווה שוקיים שאורך ניצב = 5, מהו אורך היתר?
    (א)5√3
    (ב)10
    (ג)5√2✓
    (ד)5
  4. 4.מצא k אם הישר העובר ב-(1, 2) ו-(4, k) שיפועו 2.
    (א)6
    (ב)4
    (ג)8✓
    (ד)10
  5. 5.במשולש ישר זווית ABC (זווית ישרה ב-A), AB=9, AC=12. מ-A גובה ליתר AH. מה אורך CH?
    (א)9.6✓
    (ב)5.4
    (ג)7.2
    (ד)11.25
  6. 6.מהו המרחק מ-(−1, 4) לישר 5x − 12y + 7 = 0?
    (א)46
    (ב)46/13✓
    (ג)3
    (ד)46/17
  7. 7.במלבן ABCD, AB=12, BC=9. E על AD כך ש-AE=4. מהו שטח המשולש BEC?
    (א)54 סמ²✓
    (ב)24 סמ²
    (ג)30 סמ²
    (ד)108 סמ²
  8. 8.במשולש שווה שוקיים ABC (AB=AC=10, BC=12), מ-A הורד גובה AD ל-BC. מנקודה D הורד DE⊥AC. מה אורך DE?
    (א)6
    (ב)5
    (ג)3.6
    (ד)4.8✓
  9. 9.מהו היקף המשולש בקדקודים A(0, 0), B(6, 0), C(3, 4)?
    xy-2-11234567-2-1123450(0, 0)(6, 0)(3, 4)
    (א)14
    (ב)15
    (ג)16✓
    (ד)20
  10. 10.הישר y = (a−2)x + 5 חותך את ציר ה-y בנקודה (0, 5). לאיזה a יש שיפוע 3?
    (א)3
    (ב)−1
    (ג)1
    (ד)5✓
  11. 11.שני משולשים דומים ביחס דמיון 3:5. שטח הקטן 27. מה שטח הגדול?
    (א)125
    (ב)75✓
    (ג)45
    (ד)81
  12. 12.במשולש ABC ישר זווית ב-C, AC = BC. מהי זווית A?
    (א)45°✓
    (ב)30°
    (ג)90°
    (ד)60°
  13. 13.מהו השיפוע של הישר y = 3x − 5?
    xy-6-5-4-3-2-1123456-21-19-17-15-13-11-9-7-5-3-113579110
    y = 3x − 5
    (א)5
    (ב)−3
    (ג)−5
    (ד)3✓
  14. 14.מהי משוואת הישר העובר ב-(1, 5) ומקביל לישר y = 3x + 2?
    xy-6-5-4-3-2-1123456-14-12-10-8-6-4-2246810121416180(1, 5)
    y = 3x + 2
    (א)y = 3x + 5
    (ב)y = −3x + 8
    (ג)y = 3x + 2✓
    (ד)y = 3x − 2
  15. 15.מהו שטח הריבוע שקדקודיו A(0, 0), B(3, 4), C(7, 1), D(4, −3)?
    xy-2-112345678-2-1123450(0, 0)(3, 4)(7, 1)
    (א)20
    (ב)50
    (ג)10
    (ד)25✓
  16. 16.במקבילית ABCD, P על BC כך ש-BP:PC=1:2. AP חוצה את BD בנקודה Q. מה היחס BQ:QD?
    (א)1:2
    (ב)1:3✓
    (ג)2:3
    (ד)1:4
  17. 17.במקבילית ABCD: A(−3, −1), B(0, 2), C(4, 1). מצא את D.
    xy-2-112345-2-11230(0, 2)(4, 1)
    (א)D(1, −2)✓
    (ב)D(1, 4)
    (ג)D(−7, −2)
    (ד)D(7, −2)
  18. 18.במשולש שווה שוקיים ABC (AB=AC=10), זווית A = 120°. מהו BC?
    (א)10
    (ב)10√3✓
    (ג)20
    (ד)5√3
  19. 19.במקבילית ABCD, M נקודת חיתוך האלכסונים. שטח המשולש ABM הוא 8 סמ². מהו שטח המקבילית?
    (א)64 סמ²
    (ב)24 סמ²
    (ג)16 סמ²
    (ד)32 סמ²✓
  20. 20.במעוין ABCD זווית A = 60° וצלע 8 ס"מ. מהו אורך האלכסון AC (הארוך)?
    (א)8√3 ס"מ✓
    (ב)8 ס"מ
    (ג)4√3 ס"מ
    (ד)16 ס"מ
  21. 21.נתונים A(1, 1), B(4, 5), C(0, 8), D(−3, 4). איזה מרובע זה?
    xy-2-112345-2-11234567890(1, 1)(4, 5)(0, 8)
    (א)מלבן בלבד
    (ב)ריבוע✓
    (ג)מעוין בלבד
    (ד)מקבילית בלבד
  22. 22.לאיזה k הישר y = (k+1)x + 4 מקביל ל-y = 3x − 2?
    xy-6-5-4-3-2-1123456-18-16-14-12-10-8-6-4-224681012140
    y = 3x − 2
    (א)2✓
    (ב)−2
    (ג)−4
    (ד)3
  23. 23.בריבוע ABCD, E על BC ו-F על CD כך ש-BE=CF. הוכח ש-AE⊥BF.
    (א)מתבסס על חפיפת משולשים ABE ו-BCF✓
    (ב)הוכחה לא אפשרית
    (ג)מספיק להוכיח BE=CF
    (ד)תלוי באורך BE
  24. 24.מהי משוואת אנך האמצעי לקטע שקצותיו A(2, 3) ו-B(8, −1)?
    (א)y = (3/2)x + 13/2
    (ב)y = −(2/3)x + 11/3
    (ג)y = (3/2)x − 13/2✓
    (ד)y = (2/3)x − 11/3
  25. 25.באיזו טענה הבדל בין מעוין למלבן?
    (א)אלכסונים חוצים זה את זה
    (ב)סכום זוויות 360°
    (ג)אלכסוני מעוין ניצבים✓
    (ד)צלעות נגדיות מקבילות
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

  1. מלבן — מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן. הצלעות אינן שוות, אז לא ריבוע.
  2. 6√3 ס"מ — זוויות בסיס 30°. חצי בסיס = 6·cos 30° = 6·(√3/2) = 3√3. בסיס = 6√3 ס"מ.
  3. 5√2 — ביחס 1:1:√2, היתר = ניצב · √2 = 5√2.
  4. 8 — (k − 2)/(4 − 1) = 2 ⇒ k − 2 = 6 ⇒ k = 8.
  5. 9.6 — BC=√(81+144)=15. AC²=CH·BC ⇒ 144=CH·15 ⇒ CH=9.6.
  6. 46/13 — d = |−5 − 48 + 7|/√(25+144) = 46/13.
  7. 54 סמ² — המשולש BEC: בסיס BC=9, גובה מ-E ל-BC = AB = 12. שטח = (9·12)/2 = 54.
  8. 4.8 — AD=√(100-36)=8. שטח ADC = (DC·AD)/2 = (6·8)/2 = 24. גם = (AC·DE)/2 = (10·DE)/2 = 5·DE. לכן DE=24/5=4.8.
  9. 16 — |AB| = 6. |AC| = √(9 + 16) = 5. |BC| = √(9 + 16) = 5. היקף = 6 + 5 + 5 = 16.
  10. 5 — a − 2 = 3 ⇒ a = 5.
  11. 75 — יחס שטחים = (3/5)² = 9/25. 27/X = 9/25 ⇒ X = 27·25/9 = 75.
  12. 45° — אם AC = BC המשולש שווה-שוקיים ישר זווית, ולכן זוויות הבסיס = 45°.
  13. 3 — בצורה y = mx + n, השיפוע הוא m = 3.
  14. y = 3x + 2 — שיפוע = 3. y − 5 = 3(x − 1) ⇒ y = 3x + 2.
  15. 25 — |AB| = √(9 + 16) = 5. שטח ריבוע = 5² = 25.
  16. 1:3 — משולשים BPQ ו-DAQ דומים (AD∥BP, זוויות מתחלפות). יחס דמיון = BP/AD = BP/BC = 1/3. לכן BQ:QD = 1:3.
  17. D(1, −2) — D = A + C − B = (−3+4−0, −1+1−2) = (1, −2).
  18. 10√3 — אנך AD מ-A ל-BC חוצה את BC. במשולש ABD: זווית BAD = 60°, AB = 10, BD = AB·sin 60° = 5√3. BC = 2·BD = 10√3.
  19. 32 סמ² — האלכסונים מחלקים את המקבילית ל-4 משולשים שווי שטח. שטח = 4·8 = 32 סמ².
  20. 8√3 ס"מ — האלכסון AC חוצה את הזווית A, לכן זווית BAC = 30°. במשולש AOB (O מרכז): cos 30° = AO/AB ⟸ AO = 8·(√3/2) = 4√3. AC = 8√3.
  21. ריבוע — כל הצלעות באורך 5. שיפוע AB = 4/3, שיפוע BC = −3/4. מכפלה −1 ⇒ זווית 90°. כל הצלעות שוות וזווית ישרה ⇒ ריבוע.
  22. 2 — מקבילים ⇒ שיפועים שווים: k+1 = 3 ⇒ k = 2.
  23. מתבסס על חפיפת משולשים ABE ו-BCF — במשולשים ABE ו-BCF: AB=BC (צלעות ריבוע), BE=CF (נתון), זוויות ABE=BCF=90°. לפי צ.ז.צ חופפים. לכן זוויות BAE=CBF. במשולש ABG (G נקודת חיתוך): זוויות BAE+ABG = CBF+ABG = ABC = 90°, ולכן זווית AGB = 90°.
  24. y = (3/2)x − 13/2 — M = (5, 1). m_AB = −2/3. m_perp = 3/2. y − 1 = (3/2)(x − 5) ⇒ y = (3/2)x − 13/2.
  25. אלכסוני מעוין ניצבים — במעוין האלכסונים ניצבים זה לזה (תכונה ייחודית); במלבן הם אינם בהכרח ניצבים.