גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 2 — מקבילים ⇒ שיפועים שווים: k+1 = 3 ⇒ k = 2.
2. נכון לפי סימטריה ביחס לאלכסון DB — האלכסון DB הוא ציר סימטריה של הריבוע (מחליף A↔C, B↔B, D↔D). תחת ההשתקפות: AB↔CB, ולכן E (אמצע AB) ↔ F (אמצע CB). מכאן DE=DF, וזווית EDF נחצית ע"י DB.
3. √2 — c² = 1² + 1² = 2, לכן c = √2 (ערך מדויק).
4. 18√3 סמ² — שטח מעוין = a²·sin θ = 36·sin60° = 36·(√3/2) = 18√3 סמ².
5. y = 0 — M = (0, 0). הקטע אנכי, אנך אמצעי אופקי: y = 0 (ציר ה-x).
6. 15 — ½|2(7−1)+5(1−3)+8(3−7)| = ½|12−10−32| = ½×30 = 15.
7. 5√2 — ביחס 1:1:√2, היתר = ניצב · √2 = 5√2.
8. 110° — במקבילית זוויות סמוכות משלימות ל-180°. 180° − 70° = 110°. מסיח 70 — בלבול עם זוויות נגדיות.
9. (2, 4) — x+2 = −2x+8 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2, y = 4.
10. אין נקודה כזו — אנך אמצעי הוא x = 3, ואינו חותך את ציר ה-y, לכן אין נקודה במרחק שווה על ציר ה-y.
11. (2, 2) — אנך: x = 2. y = x → y = 2. נקודת חיתוך (2, 2).
12. 25 — |AB| = √(9 + 16) = 5. שטח ריבוע = 5² = 25.
13. 110° — השוקיים מקבילות לקווים בין שני בסיסים מקבילים. זוויות באותה שוק משלימות: 180° − 70° = 110°.
14. 10 — יחס 1:√3:2. אם הקצרה = 5, היתר = 10.
15. 12 ו-8 — 2(a+b)=40 ⇒ a+b=20. a−b=4. a=12, b=8.
16. 48 סמ² — שטח דלתון = (d₁·d₂)/2 = (12·8)/2 = 48 סמ².
17. (3, 1) — y = m(x−3) + 1. ל-x=3: y=1 לכל m.
18. 12 — יחס דמיון 1:3 → אורכים מתאימים כפול 3. 4·3 = 12.
19. 32 — שטח ABP = (AB·BP)/2 = (8t)/2 = 4t. PC=8−t, שטח PCD = (CD·PC)/2 = (8·(8−t))/2 = 32−4t. סכום = 4t+32−4t = 32.
20. 20 סמ² — שטח מעוין=(6·8)/2=24. שטח ריבוע=4. 24−4=20.
21. זוויות קודקודיות שוות — כששני ישרים נחתכים, הזוויות בקודקודים הנגדיים (קודקודיות) שוות זו לזו.
22. האלכסונים שווים — בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים. הם לא בהכרח ניצבים. השוקיים אינן מקבילות (אחרת זו מקבילית).
23. 42 סמ² — בסיס DC=14, גובה מ-P ל-DC = BC = 6. שטח = (14·6)/2 = 42 סמ².
24. 4√2 — האלכסון יוצר משולש ישר זווית שווה שוקיים עם הניצבים = 4. AC² = 16+16 = 32, AC = √32 = 4√2.
25. 3 ס"מ — הפרש בסיסים = 4. הגובה ⊥ לבסיסים יוצר עם השוק האלכסונית משולש ישר זווית: h = √(5² − 4²) = 3.