דלג לתוכן הראשי
GeekHero · כל הגיבורים שלכם במקום אחד — מתמטיקה · אנגלית · עברית · מדעים ←
MathHero
⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה י׳ · יסודות בגרות · 25 שאלות · ~50 דק'
📐

גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

25 שאלות שיפוע, משוואת ישר, מקבילים, ניצבים, אנך אמצעי וזיהוי מרובעים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 25

גאומטריה אנליטית של ישר היא נושא חובה בבגרות 4 יח"ל. הדף כולל חישוב שיפוע, משוואת ישר לפי שתי נקודות / נקודה+שיפוע, זיהוי ישרים מקבילים ומאונכים, מרחק בין נקודות, אמצע קטע, אנך אמצעי, וזיהוי סוג מרובע משיעורי קדקודיו. 25 שאלות בסגנון בגרות 471, מתאימות לתרגול שוטף.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 25 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מקדש הצורות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-50 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

  1. הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
  2. פתרו את כל ה-25 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~50 דקות, אך אין לחץ זמן.
  3. בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
  4. חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
  5. כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-25 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

  1. 1.באותה תצורה (מלבן 10×6, P על AB כאשר AP=x): עבור איזה x השטחים של PBC ו-APD יהיו שווים?
    (א)x=3
    (ב)x=5✓
    (ג)x=6
    (ד)x=4
  2. 2.במעוין ABCD, האלכסונים נחתכים ב-O. הוכח שמשולש ABO ישר זווית.
    (א)לא תמיד נכון
    (ב)ישר זווית רק במקרה ריבוע
    (ג)נכון — האלכסונים מאונכים✓
    (ד)תלוי בזווית A
  3. 3.מהו המרחק מהנקודה (3, −1) לישר 4x − 3y + 5 = 0?
    (א)20
    (ב)2
    (ג)20/7
    (ד)4✓
  4. 4.ריבוע שצלעו 4. מהו אורך אלכסונו?
    (א)8
    (ב)2√2
    (ג)4√2✓
    (ד)4
  5. 5.ישר עובר ב-(2, 7) וניצב לישר 3x + 2y − 4 = 0. מהי משוואתו?
    (א)y = (3/2)x + 4
    (ב)y = (2/3)x + 17/3✓
    (ג)y = −(3/2)x + 10
    (ד)y = −(2/3)x + 17/3
  6. 6.במשולש שווה שוקיים זווית הראש 60°. מה ניתן לומר על המשולש?
    (א)שווה צלעות✓
    (ב)ישר זווית
    (ג)אין מספיק מידע
    (ד)כל הזוויות 60° וצלעות שונות
  7. 7.בטרפז ישר זווית ABCD, AB=10 ו-CD=4 הם הבסיסים, שוק AD=6 ניצב לבסיסים. מהו שטח הטרפז?
    (א)42 סמ²✓
    (ב)84 סמ²
    (ג)21 סמ²
    (ד)60 סמ²
  8. 8.מהו שטח המשולש A(−3, −2), B(5, −2), C(1, 4)?
    (א)12
    (ב)24✓
    (ג)16
    (ד)48
  9. 9.במשולש שווה צלעות צלע a. מהו רדיוס המעגל החוסם?
    (א)a√3/3✓
    (ב)a/2
    (ג)a√3/2
    (ד)a
  10. 10.במשולש שווה שוקיים ABC (AB=AC), D על BC כך ש-AD חוצה זווית A. הוכח שני דברים: AD⊥BC ו-BD=DC.
    (א)רק AD⊥BC
    (ב)שניהם נכונים✓
    (ג)אף אחד
    (ד)רק BD=DC
  11. 11.מהו המרחק בין הישרים המקבילים y = 2x + 3 ו-y = 2x − 7?
    xy-6-5-4-3-2-1123456-18-16-14-12-10-8-6-4-224681012140
    y = 2x + 3y = 2x − 7
    (א)10
    (ב)√5
    (ג)10/√5
    (ד)2√5✓
  12. 12.במשולש שווה שוקיים (שוקיים 13, בסיס 10), P נע על הבסיס BC עם BP=x. מצא את הערך של x עבורו AP מינימלי.
    (א)6.5
    (ב)10
    (ג)0
    (ד)5✓
  13. 13.במלבן 10×6 הוסרו שני משולשים שווי שוקיים זהים (בסיס 6, גובה 2) מקודקודים נגדיים. מהו השטח שנותר?
    (א)54 סמ²
    (ב)60 סמ²
    (ג)48 סמ²✓
    (ד)36 סמ²
  14. 14.במשולש ישר זווית היתר 13 וניצב אחד 5. מהו הניצב השני?
    (א)8
    (ב)12✓
    (ג)18
    (ד)√194
  15. 15.איזו טענה נכונה לגבי דלתון?
    (א)כל הזוויות שוות
    (ב)אלכסונים ניצבים✓
    (ג)כל הצלעות שוות
    (ד)אלכסונים שווים
  16. 16.מצא חיתוך הישרים 3x + 2y = 12 ו-x − y = 1.
    (א)(14/5, 9/5)✓
    (ב)(3, 2)
    (ג)(2, 1)
    (ד)(4, 3)
  17. 17.במעוין שאלכסוניו 6 ס"מ ו-8 ס"מ. מהו שטחו?
    (א)28 סמ²
    (ב)24 סמ²✓
    (ג)14 סמ²
    (ד)48 סמ²
  18. 18.ישר y = 3x − 5 חותך את ציר ה-x בנקודה. מצא אותה.
    xy-6-5-4-3-2-1123456-21-19-17-15-13-11-9-7-5-3-113579110
    y = 3x − 5
    (א)(5/3, 0)✓
    (ב)(0, −5)
    (ג)(−5/3, 0)
    (ד)(3, 0)
  19. 19.מהו השיפוע של הישר העובר בנקודות A(1, 2) ו-B(4, 8)?
    xy-2-112345-2-11234567890(1, 2)(4, 8)
    (א)2✓
    (ב)1/2
    (ג)−2
    (ד)3
  20. 20.במשולש A(−1, 0), B(5, 0), C(2, 6) — מהי משוואת הגובה מ-A ל-BC?
    xy-2-1123456-2-112345670(5, 0)(2, 6)
    (א)y = −(1/2)x − 1/2
    (ב)y = (1/2)x + 1/2✓
    (ג)y = −2x − 2
    (ד)y = 2x + 2
  21. 21.מהי משוואת הישר העובר בנקודה (2, 5) ובעל שיפוע 3?
    (א)y = 3x + 11
    (ב)y = 3x − 1✓
    (ג)y = 3x + 5
    (ד)y = 3x − 11
  22. 22.במשולש 30-60-90, היתר 12. מהי הצלע מול 60°?
    (א)6√3✓
    (ב)4√3
    (ג)12√3
    (ד)6
  23. 23.בטרפז ש"ש ABCD, אלכסונים AC ו-BD נחתכים ב-O. נתון AB=12 (בסיס תחתון), CD=4 (עליון). יחס OA:OC הוא:
    (א)2:1
    (ב)1:3
    (ג)1:2
    (ד)3:1✓
  24. 24.בדלתון ABCD זווית B = זווית D = 90°, AB = AD = 5 ו-CB = CD = 12. מהו אורך האלכסון AC?
    (א)13 ס"מ✓
    (ב)10 ס"מ
    (ג)12 ס"מ
    (ד)17 ס"מ
  25. 25.במקבילית ABCD שטח 48 סמ² ו-AB = 12 ס"מ. מהי זווית A אם AD = 5 ס"מ?
    (א)sin⁻¹(0.8)✓
    (ב)60°
    (ג)30°
    (ד)sin⁻¹(0.6)
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

  1. x=5 — שטח APD = (AP·AD)/2 = (x·6)/2 = 3x. שטח PBC = 3(10−x). השוואה: 3x = 3(10−x) ⇒ 2x=10 ⇒ x=5.
  2. נכון — האלכסונים מאונכים — במעוין כל הצלעות שוות, ולכן AB=AD. משולש ABD שווה שוקיים, ו-AO תיכון ל-BD (האלכסונים חוצים זה את זה במעוין). במשולש שווה שוקיים, התיכון ליסוד הוא גם גובה. לכן AO⊥BD ומשולש ABO ישר זווית ב-O.
  3. 4 — d = |12 + 3 + 5|/√(16+9) = 20/5 = 4.
  4. 4√2 — האלכסון יוצר 45-45-90, אורך = צלע·√2 = 4√2.
  5. y = (2/3)x + 17/3 — מסדרים: y = −(3/2)x + 2. m_perp = 2/3. y − 7 = (2/3)(x − 2) ⇒ y = (2/3)x + 17/3.
  6. שווה צלעות — אם זווית הראש 60° וזוויות הבסיס שוות, סכומן 120° → כל אחת 60°. כל הזוויות שוות → שווה צלעות.
  7. 42 סמ² — AD הוא הגובה. שטח = ((10+4)/2)·6 = 7·6 = 42 סמ².
  8. 24 — AB אופקי באורך 8. גובה מ-C: |4−(−2)|=6. S = ½ × 8 × 6 = 24.
  9. a√3/3 — R = a/(√3) = a√3/3 (מנוסחת רדיוס מעגל חוסם משולש שווה צלעות).
  10. שניהם נכונים — משולשים ABD ו-ACD: AB=AC, זוויות BAD=DAC (AD חוצה), AD משותפת. לפי צ.ז.צ חופפים. לכן BD=DC וגם זוויות ADB=ADC, וכיוון שסכומן 180°, כל אחת 90°.
  11. 2√5 — 2x − y + 3 = 0. נקודה (0, −7). d = |0 + 7 + 3|/√5 = 10/√5 = 2√5.
  12. 5 — AP מינימלי כשאנכי לבסיס, כלומר מעל אמצע BC (כי המשולש שווה שוקיים). אמצע BC הוא ב-x=5.
  13. 48 סמ² — שטח מלבן = 60. שטח כל משולש = (6·2)/2 = 6. שטח שנותר = 60 − 2·6 = 48 סמ².
  14. 12 — b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, ולכן b = 12. זה משולש 5-12-13.
  15. אלכסונים ניצבים — בדלתון האלכסונים ניצבים זה לזה. כל הצלעות שוות זו תכונת מעוין, לא דלתון כללי.
  16. (14/5, 9/5) — x = y+1. הצב: 3(y+1)+2y = 12 ⇒ 5y = 9 ⇒ y=9/5, x=14/5.
  17. 24 סמ² — שטח מעוין = (d₁·d₂)/2 = (6·8)/2 = 24 סמ². מסיח 48 — שכחת חלוקה ב-2.
  18. (5/3, 0) — y = 0 ⇒ 3x − 5 = 0 ⇒ x = 5/3. הנקודה (5/3, 0).
  19. 2 — m = (8 − 2)/(4 − 1) = 6/3 = 2.
  20. y = (1/2)x + 1/2 — שיפוע BC = (6−0)/(2−5) = −2. גובה: 1/2. y − 0 = (1/2)(x+1) ⇒ y = x/2 + 1/2.
  21. y = 3x − 1 — y − 5 = 3(x − 2) ⇒ y = 3x − 6 + 5 = 3x − 1.
  22. 6√3 — צלע מול 60° = יתר·sin 60° = 12·√3/2 = 6√3.
  23. 3:1 — במשולשים דומים AOB ו-COD: יחס=AB:CD=12:4=3:1.
  24. 13 ס"מ — משולש ABC ישר זווית ב-B: AC = √(5² + 12²) = 13 ס"מ.
  25. sin⁻¹(0.8) — שטח = AB·AD·sin A ⟸ 48 = 12·5·sin A ⟸ sin A = 48/60 = 0.8 ⟸ A = sin⁻¹(0.8).