גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. y = 3x + 2 — שיפוע = 3. y − 5 = 3(x − 1) ⇒ y = 3x + 2.
2. 42 — ההפרש בין הבסיסים 8, חצי = 4. גובה = √(25−16) = 3. שטח = ((18+10)·3)/2 = 42.
3. 6√3 — יחס 1:√3:2. אם √3·k = 9, k = 9/√3 = 3√3. היתר = 2k = 6√3.
4. −1/2 — תנאי ניצבות: m₁·m₂ = −1. אם m₁ = 2, אז m₂ = −1/2.
5. sin⁻¹(0.8) — שטח = AB·AD·sin A ⟸ 48 = 12·5·sin A ⟸ sin A = 48/60 = 0.8 ⟸ A = sin⁻¹(0.8).
6. (5, 4) — האמצע הוא (3, 4), אז B = (2·3 − 1, 2·4 − 4) = (5, 4).
7. ניצבים — (2/3) · (−3/2) = −1, לכן ניצבים.
8. x = 1 — M = (1, 3). הקטע אופקי, אנך אמצעי אנכי: x = 1.
9. 30° — זוויות הבסיס שוות (75°). זווית A = 180° − 150° = 30°.
10. (1, 2) — M = ((−3+5)/2, (7+(−3))/2) = (1, 2).
11. (4, 7) — M = ((2+6)/2, (4+10)/2) = (4, 7).
12. 5√2 — יחס 1:1:√2. יתר = ניצב·√2 = 5√2.
13. (5/3, 0) — y = 0 ⇒ 3x − 5 = 0 ⇒ x = 5/3. הנקודה (5/3, 0).
14. A(1, 5) — A + C = B + D ⇒ A = B + D − C = (2+5−6, 1+7−3) = (1, 5).
15. 3√3 — מול 60° = √3 · (מול 30°). אז מול 30° = 9/√3 = 3√3.
16. 6√3 ס"מ — במשולש ABD: AB=AD=6, זווית A=120°. לפי משפט הקוסינוסים: BD²=36+36−72cos120°=72+36=108. BD=√108=6√3.
17. מעוין — כל הצלעות = 5, אך אלכסונים לא שווים → מעוין (לא ריבוע).
18. y = −2x + 2 — m = (−4−4)/(3−(−1)) = −8/4 = −2. y − 4 = −2(x+1) ⇒ y = −2x + 2.
19. 35 סמ² — שטח דלתון = (d₁·d₂)/2 = (7·10)/2 = 35 סמ². מסיח 70 — שכחת חלוקה ב-2.
20. 13 — Δx = 5, Δy = 12 ⇒ d = √(25 + 144) = √169 = 13.
21. 10 — יחס הצלעות 1:√3:2. היתר = 2 · 5 = 10.
22. y = (1/2)x − 3 — n = −3 (חיתוך עם ציר y). y = (1/2)x − 3.
23. (2, 3) — y = k(x−2) + 3. ל-x=2: y=3 לכל k. הנקודה (2, 3).
24. 12 — DP²=x²+25=169 ⇒ x²=144 ⇒ x=12. כלומר P=B.
25. ריבוע — |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=5. שיפוע AB = 3/4, שיפוע BC = −4/3. מכפלה = −1 ⇒ זווית ישרה ⇒ ריבוע.