גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 24 — AB אופקי באורך 8. גובה מ-C: |4−(−2)|=6. S = ½ × 8 × 6 = 24.
2. ריבוע — כל הצלעות = √5, שיפוע AB=1/2, BC=−2 → ניצבות. ריבוע.
3. 13 ס"מ — AM=5, BM=12. במשולש AMB ישר זווית: AB=√(25+144)=13.
4. 120 סמ² — בסיס DC=20, גובה מ-M ל-DC = BC = 12. שטח = (20·12)/2 = 120 סמ².
5. 8 — משושה משוכלל מורכב מ-6 משולשים שווי-צלעות. האלכסון הראשי = 2 · צלע = 8.
6. נכון תמיד (משפט הקודקודים המנוגדים) — שים את המלבן בקואורדינטות A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b), P(x,y). PA²+PC² = x²+y² + (x-a)²+(y-b)². PB²+PD² = (x-a)²+y² + x²+(y-b)². שני הביטויים זהים אחרי פתיחה.
7. (5, 5) — מ-((1+x)/2, (−1+y)/2) = (3, 2) נקבל x = 5, y = 5.
8. 8 ס"מ — במשולש BCE: BC=6, BE=10 יתר. CE = √(100−36) = √64 = 8.
9. אלכסונים ניצבים — בדלתון האלכסונים ניצבים זה לזה. כל הצלעות שוות זו תכונת מעוין, לא דלתון כללי.
10. 13 — Δx = 5, Δy = 12 ⇒ d = √(25 + 144) = √169 = 13.
11. 4 — ישר אנכי x = 1. מרחק = |5 − 1| = 4.
12. 2/√5 — d = |2 + 1 − 5|/√(4+1) = 2/√5.
13. מקבילית בלבד — AB ∥ DC (שניהם שיפוע 0), AD ∥ BC (שניהם שיפוע 1). אורכי AB=3, AD=√8 ⇒ לא מעוין. השיפועים של AC ו-BD לא במכפלה −1 ⇒ לא מלבן.
14. 15 — b² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, לכן b = 15. זה משולש 8-15-17.
15. 60 סמ² — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 12·5 = 60 סמ².
16. y = −2x + 7 — שיפוע ניצב = −1/(1/2) = −2. y − 3 = −2(x − 2) ⇒ y = −2x + 7.
17. D(2, 3) — D = A + C − B = (0+6−4, 0+3−0) = (2, 3).
18. מקבילים — שני הישרים בעלי אותו שיפוע (3) אך n שונה — מקבילים.
19. y = −2x + 2 — y − 4 = −2(x − (−1)) ⇒ y = −2x − 2 + 4 = −2x + 2.
20. (2, 5) — 2x+1 = −x+7 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2, y = 2×2+1 = 5.
21. 4√3 — המשולש שווה שוקיים — AD גם גובה ל-BC. במשולש ABD: זווית BAD = 30°, AB = 8. AD = AB·cos 30° = 8·√3/2 = 4√3.
22. 5 ס"מ — חצי ההבדל בין הבסיסים = (12−4)/2 = 4. שוק = √(9+16)=5.
23. 30 סמ² — שטח מקבילית = a·b·sin θ = 6·10·sin 30° = 60·(1/2) = 30 סמ². מסיח 60 — שכחת sin.
24. 96−4√3 סמ² — שטח מלבן=96. שטח משולש שווה צלעות צלע 4 = (16√3)/4 = 4√3. נשאר 96−4√3.
25. 16 — |AB| = 6. |AC| = √(9 + 16) = 5. |BC| = √(9 + 16) = 5. היקף = 6 + 5 + 5 = 16.